在具有光折射漂移非线性的实时光诱导光学晶格中，间隙孤子的调制

《Optik》：The Modulation of Gap Solitons in Real-time Optically-induced Optical Lattices with Photorefractive Drift Nonlinearity

间隙孤子与光诱导晶格的调控机制研究，通过调节光场强度和电场强度改变晶格能带结构，分析非线性效应与离散衍射的竞争对孤子形成的影响，采用split-step傅里叶方法和NLSE方程进行数值模拟验证。

　　

贾晓晨|郭月|齐宏旭|吴瑶瑶|于昊毅|张天浩

南开大学物理科学学院，天津，300071，中国

摘要

本文研究了具有光折射漂移非线性的均匀介质和实时光诱导光晶格中的能隙孤子。通过阵列光形成了周期性光晶格，并计算了光晶格的能带分布。通过改变光晶格和非线性强度实现了能隙孤子的实时调控。在自聚焦非线性条件下，分析了不同参数对光晶格中能隙孤子的影响，这一点通过光束传播方法得到了验证。

引言

能隙孤子是由周期性能带结构和非线性效应共同作用形成的。Wei Chen和D. L. Mills预言了Kerr非线性系统中能隙孤子的存在[1]。1996年，在一维布拉格光栅中观察到了能隙孤子[2]；2004年，在二维波导阵列中也观察到了能隙孤子[3]。Fleischer等人首次在光折射晶体SBN:75中诱导出等效的Kerr效应，观察到了二维能隙孤子[4]。Neshev等人首次在光折射晶体中实现了完全可控的空间能隙孤子生成，观察到了静止和慢速孤子[5]。能隙孤子的存在取决于带隙和功率：在光折射晶体中，自聚焦孤子分布在半无限带隙和第一带隙中，而自发散孤子仅存在于第一带隙中，这两种情况都需要功率超过阈值[6]；在具有有限带隙的光折射晶体（如热电晶体和偏置光伏晶体）中，分别存在单峰、双峰和对称/非对称多峰孤子，带隙的类型决定了孤子的分布类型[7]、[8]、[9]、[10]。孤子的稳定性与带隙、功率和缺陷类型相关；某些孤子在特定条件下保持稳定，缺陷孤子的稳定性随缺陷特性而变化[11]、[12]、[13]。

我们采用非线性薛定谔方程（NLSE）来研究非线性介质中能隙孤子的动态行为。NLSE能够准确描述孤子形成所需的非线性和衍射之间的平衡，灵活地纳入高阶非线性和非局域效应等扩展项以适应不同介质，并且可以容易地通过解析方法求解，用于分析参数调控机制，例如通过行波变换方法。Murad等人使用多种方法求解了各种类型的非线性薛定谔方程，得到了暗孤子、亮孤子和波孤子等多种光孤子解，并揭示了非线性效应和色散之间的复杂相互作用[14]、[15]、[16]、[17]。它为非线性光学中各种孤子的产生、传播和调制提供了理论支持[19]、[20]、[21]，以及对于玻色-爱因斯坦凝聚态中的物质波孤子的研究[22]、[23]、[24]。能隙孤子作为实现稳健非线性操控的理想载体，为开发高产量和高稳定性的集成光子芯片提供了新的解决方案[25]、[26]。它们的可调性为光存储和全光逻辑门提供了可能性[27]、[28]。

能隙孤子代表了非线性物理学和光晶格的结合。形成能隙孤子的两个重要条件是非线性效应和光晶格。非线性包括Kerr型非线性[29]、[30]和光折射非线性[31]、[32]等。光晶格通常由多束激光的干涉形成[33]、[34]、[35]。在适当的光折射晶体（如SBN）中，光诱导是一种生成光子晶格的潜在方法[36]。在自聚焦非线性的作用下，本文通过改变非线性强度、调制深度和归一化功率来调节能隙孤子，明确了这些参数对能隙孤子的模式和宽度的影响。这为集成光子器件的操控和调节提供了简单多样的方法。在发散非线性情况下，非线性效应会导致光束发散，光晶格的离散衍射也会导致光束发散，从而无法形成亮孤子。然而，在适当的条件下，可能会形成暗孤子（在由反相引起的均匀亮背景中稳定传播的强度凹陷），本文未对此进行研究。

理论模型

假设所考虑的介质是均匀且各向同性的。当电场是时谐的，即$E\left(r,t\right)=\text{Re}\left(E\left(r\right)\exp \left(i\omega t\right)\right)$，得到矢量亥姆霍兹方程：${?}^{2}E+k_0^2$

我们考虑一束光沿z方向在具有光折射漂移非线性的光诱导光晶格中传播。光束的1+1D形式可以表示为E(x,z)e^{ikz，其中E(x,z)是光场的无量纲振幅（由I_d1/2归一化）。此时，}

能隙结构的调制

我们研究了阵列光束I₀和施加的电场E₀对光晶格能带结构的影响。对于固定的电场强度I₀，E_{0表示非线性的强度，这可以从方程(5)中明确得出。从方程(5)可以推导出，当E0增加时，第二项的“强度”增加，A(x)的空间宽度变窄。相反，当I0增加时，第二项的“强度”减小，A(x)的空间宽度变宽}

TIR带隙中能隙孤子激发的模拟

使用分步傅里叶方法对各种模式的能隙孤子的激发和传播进行了模拟。参数设置为E₀=8, I₀=3, w=2, D=20 μm。为了实现TIR带隙中能隙孤子的激发，我们使用单输入高斯光束Aexp[?(x)²/w]进行模拟，其中A和w分别表示振幅和宽度。通过改变A和w可以实现不同功率的入射光束的变化。

BR1带隙中能隙孤子激发的模拟

我们使用具有π相位跳变的光束在BR1带隙中激发多峰反对称孤子。与TIR带隙类似，通过改变E₀和I₀来调制孤子。为了使孤子在BR1带隙中更容易形成，我们减小了入射光束的宽度，并设置w=1。图5(a)显示了当I₀ = 6时，不同E₀下的光晶格能带结构；图5(b)展示了当E₀ = 12时不同I₀下的能带结构。红点表示

功率对能隙孤子的影响

我们还在相同的非线性强度E₀和调制深度I₀条件下，研究了功率对TIR和BR1中能隙孤子的影响。

我们通过改变入射光的振幅A来调整功率。当功率太低时，光场的强度不足以引起非线性折射率的显著变化，非线性效应无法抵消离散衍射的发散效应，从而无法形成孤子。

TIR和BIR带隙中的归一化功率曲线

为了激发更稳定的孤子，我们研究了TIR和BIR带隙中孤子功率与传播常数之间的关系，并通过调制E₀和I₀观察了功率曲线的变化。TIR带隙中的归一化功率曲线显示在图9(a)中，实线代表E₀=8和I₀ =1.2，虚线代表E₀ =8和I₀ =0.6，点线代表E₀ =15和I₀ =1.2。三条曲线的比较清楚地显示了增加E₀

结论

总之，我们研究了具有光折射漂移非线性的光诱导晶格。通过改变阵列光束的强度I₀，我们调整了光晶格的能带结构；同时，通过改变外部电场E₀来影响非线性效应的强度，并通过自聚焦效应和离散衍射效应之间的竞争实现了能隙孤子的调制。我们模拟了孤子的激发过程

未引用的参考文献

[18]

CRediT作者贡献声明

吴瑶瑶：监督，项目管理。齐宏旭：软件，项目管理，方法论。张天浩：撰写——审稿与编辑，验证，项目管理，资金获取。于昊毅：监督，软件。贾晓晨：撰写——初稿，方法论，概念化。郭月：撰写——初稿，验证，数据管理，概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。