双曲空间中Hardy-Sobolev-Maz'ya方程的非径向变号解与多重性研究

《Building and Environment》：Existence of a bi-radial sign-changing solution for Hardy-Sobolev-Maz'ya type equation

本文系统探讨了Hardy-Sobolev-Maz'ya方程在双曲空间中的非径向变号解存在性与多重性。作者通过构造具有特殊对称性（如双径向对称性）的变分子空间，结合Lions集中紧性原理与对称临界性原理，证明了在次临界指数范围内方程存在非平凡变号解，并进一步揭示了不同对称性约束下解的多重性结构。该研究丰富了双曲空间偏微分方程的解的分类，为几何分析中非线性问题的对称破缺现象提供了新视角。

　　

亮点

• •
  在双曲空间^N中，对次临界指数范围建立了Hardy-Sobolev-Maz'ya方程的非径向变号解存在性。
• •
  通过构造具有块对角矩阵对称性的函数空间，结合双曲平移与集中紧性分析，克服了低维情形下对称性约束的难点。
• •
  证明了方程在特定对称性下存在至少两个非径向变号解，揭示了对称性破缺导致的解的多重性。

引言

双曲空间中的Hardy-Sobolev-Maz'ya方程源自几何分析与偏微分方程交叉领域，其形式为：

-Δ_Hu - λu = |u|^p-2u,

其中-Δ_H为双曲拉普拉斯算子，λ为Hardy位势参数，p为次临界Sobolev指数。该方程与欧氏空间中的Hardy-Sobolev不等式临界情形密切相关，且在共形几何、天体物理中有广泛应用。早期研究多关注径向解或柱对称解，本文首次系统探讨非径向变号解的存在性与结构。

主要结果

定理1（双径向对称变号解）

当N ≥ 4且p ∈ (2, 2^*)时，方程存在一个双径向对称的变号解。

定理2（非径向变号解）

对N ≥ 3且p ∈ (2, 2^*)，方程存在非径向变号解u，满足u ° g = det(g) · u对特定矩阵群作用。

定理3（多重性）

在N ≥ 4且p ∈ (2, 2^*)时，方程存在无穷多个非径向变号解；N=3时至少存在一个非径向变号解。

定理4（多重对称性解）

对N ≥ 4且p ∈ (2, 2^*)，方程存在至少两个具有不同对称性的非径向变号解。

方法概要

1. 1.
   对称空间构造：通过块对角矩阵群作用定义函数子空间H¹_φ(B^N)，利用对称临界性原理将问题约化为该子空间上的变分问题。
2. 2.
   变分框架：在约束流形M={u∈H¹_φ: ∫|u|^p=1}上最小化能量泛函Ψ(u)=∫(|?_Hu|²-λu²)。
3. 3.
   紧性分析：通过双曲平移的共形不变性与Lions集中紧性原理，证明极小化序列的强收敛性，解决非紧性困难。
4. 4.
   对称性破缺：比较不同对称群（如旋转群与块对角群）对应的解空间，证明解的多重性。

结论

本文通过对称性约化与变分方法，建立了双曲空间中Hardy-Sobolev-Maz'ya方程非径向变号解的系统理论。结果表明：

1. 1.
   在次临界指数范围内，方程存在具有双径向对称性或更复杂对称性的变号解。
2. 2.
   对称性约束的差异导致解的多重性，其中低维情形需特殊处理。
3. 3.
   方法可推广至其他具临界指数的几何偏微分方程。未来工作可关注解的具体对称性分类与渐近行为。