基于Minkowski变形和形状导数公式求解半线性偏微分方程约束的形状优化问题的数值敏感性分析

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：On a numerical sensitivity approach involving Minkowski deformations for solving shape optimization problems constrained by a semi-linear PDE

本文聚焦于探究一种基于Minkowski变形（Minkowski deformation）的形状优化方法在求解半线性偏微分方程（PDE）约束的形状优化问题时的可靠性与有效性。该方法通过支撑函数（support function）表达形状导数（shape derivative），规避了传统基于向量场（vector fields）的Hadamard方法在数值实现（如网格重构、场扩展）上的计算瓶颈。文章通过严格的理论分析与对比数值实验（nonlinear conjugate gradient method, finite element discretization）证明，新方法在求解精度与CPU时间上均展现出优于经典方法的性能。

　　

Shape optimization numerical processes（形状优化数值过程）

在本节中，我们首先介绍基于梯度法（gradient method）和形状导数公式（9）的数值优化过程，用于求解非线性形状优化问题（1）。随后概述基于经典形状导数公式（23）的梯度下降法（gradient descent method）的基本框架。

Numerical simulation results（数值模拟结果）

本节旨在展示我们提出的基于新形状导数公式（总结于算法1）方法的有效性与效率。为证明其性能，我们将其与经典方法（算法2）在收敛速度、计算执行时间（CPU time）以及求解形状优化问题（1）所获得的最优解的精度方面进行比较，其中针对不同的非线性函数g，特别是考察g(u) = u³和g(u) = u/(1+u)这两种情况下的表现。

Conclusion（结论）

在本文中，我们研究了一种基于Minkowski变形（Minkowski deformation）的形状优化方法在求解由半线性椭圆边值问题（semi-linear elliptic boundary value problems）约束的各种二次成本泛函（quadratic cost functionals）最小化问题时的有效性和性能。