迟延惯性神经网络的钉扎脉冲控制固定时间同步研究：基于双选择策略

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Fixed-time synchronization of delayed inertial neural networks with impulsive control via two pinning rules

这篇论文针对带有时滞的惯性神经网络(Fixed-time synchronization, FxTS)难题，创新性地提出了一种混合控制器框架（融合了连续固定时间控制与钉扎脉冲控制）。该设计避免了因符号函数引起的抖动现象，并引入了与脉冲序列相关的稳定性时间(SLT)估计方法，降低了传统方法的保守性。研究提出了动态调整钉扎节点的两种规则（随机选择与基于距离），结合李雅普诺夫稳定性理论，为相关网络的协同控制提供了更优的理论依据和实用策略。

　　

Highlight

本文旨在探讨通过一种结合连续固定时间控制律和钉扎脉冲控制器的混合控制框架，解决延迟惯性神经网络中的固定时间同步问题。与传统稳定性时间估计方法相比，所提出的依赖于脉冲的估计方法能产生保守性更小的固定时间稳定时间。此外，还采用了一种钉扎控制技术，基于随机选择或基于距离等不同准则，在每个脉冲时刻动态调整被钉扎神经元，通过动态控制特定神经元来提高控制效率。通过将这些规则与李雅普诺夫稳定性理论相结合，我们为延迟惯性神经网络建立了充分的同步判据。数值模拟表明，与随机选择方法相比，基于距离的钉扎策略能实现更优的性能，并直观地证实稳定时间随脉冲数量的增加而减少。

Introduction

在人工智能时代，人工神经网络(Artificial Neural Networks, NNs)在人工智能、深度学习和信息通信等领域得到了广泛应用，其中同步在确保系统一致性和性能方面发挥着至关重要的作用 [1]， [2]。在各种神经网络架构中，为应对混沌和分叉等挑战，Babcock和Westervelt于1987年首次提出了惯性神经网络(Inertial Neural Networks, INNs)，它引入了一个二阶惯性项，增强了其动态表示能力和生物学合理性 [3]， [4]， [5]， [6]。自INNs出现以来，其独特的惯性项特性在控制工程和多个学科中获得了广泛关注。惯性项不仅能对生物神经元膜电位超极化过程进行建模，还能有效抑制柔性关节机器人中由惯性引起的振荡 [7]， [8]， [9]。此外，该组件的坚实生物学基础进一步提升了其在类脑计算和智能控制中的理论价值和应用潜力。然而，由于信号传输和处理方面的限制，现实系统往往存在时间延迟 [10]， [11]。将延迟引入INNs产生了一个更现实的模型，即延迟惯性神经网络(Delayed Inertial Neural Networks, DINNs)，但这也带来了更大的挑战。惯性项和时间延迟的同时存在使得DINNs的动态行为更加复杂，其同步问题成为一个棘手难题，需要复杂的控制策略。

据我们所知，在控制理论中，有限时间(Finite-time, FIT)同步是一种能使系统在有限时间帧内达到稳定的控制协议，以其高控制精度和鲁棒性著称，因此得到了广泛研究 [12], [13]。然而，系统在有限时间内的收敛时间是依赖于系统初始条件的一个无界函数。如果初始值(Initial Values, IV)非常大，系统的收敛时间也会显著延长。这使得某些实际系统，例如需要快速稳定到指定标量值以维持电能质量的电力系统，无法正常工作 [14]。显然，这一要求无法满足。此外，通常很难获得系统的精确初始值，因此难以准确估计有限时间收敛。为了应对有限时间稳定性的局限，学者们提出了固定时间(Fixed-time, FixT)稳定性，这是一种时间最优控制策略，可在无需初始值信息的情况下估计收敛时间的上界。自固定时间控制策略提出以来，便引起了众多研究者的极大兴趣 [15], [16], [17], [18], [19]。例如，Ren等人利用两种不同的控制器：自适应控制和非线性延迟状态反馈控制，在具有忆阻器的随机神经网络中实现了固定时间同步(Fixed-time synchronization, FxTS) [20]。Chen等人通过利用定积分、变量替换和各种不等式技术，建立了一个新的固定时间同步定理，随后将其用于解决神经网络内的同步问题 [21]。Meng等人研究了一组以不确定参数为特征的非线性系统的固定时间同步问题，其中非线性受未知线性增长约束的约束 [22]。然而，尽管取得了这些进展，许多现有的固定时间控制器仍包含不连续的符号函数，这可能会诱发抖动现象并阻碍实际应用。

作为一种离散时间控制方法，脉冲控制(Impulsive Control)能够在控制实现过程中不连续地占用通信信道，因此可以大大减少网络带宽消耗，并显著降低控制成本。鉴于这些突出优势，脉冲控制在神经网络同步领域的研究受到了相当多的关注 [23], [24], [25], [26], [27]。例如，Tan等人通过分别考虑恒定和随机脉冲增益的情况，提出了一种周期性自触发脉冲控制策略，旨在实现神经网络的同步 [28]。此外，Yang等人利用脉冲控制分别实现了时变神经网络和切换神经网络的有限时间同步 [29]。Kowsalya等人提出了一种脉冲控制策略来解决具有状态相关延迟脉冲的惯性Cohen-Grossberg神经网络的固定时间同步问题。他们的算法已成功应用于多图像加密领域 [30]。应当注意，在现有基于脉冲控制的固定时间同步研究中，导出的稳定时间(Settling Time, SLT)与脉冲无关。这种疏忽导致了相当大的保守性，因为序列中的脉冲数量直接影响稳定时间。然而，实现依赖于脉冲的稳定时间问题在文献中很少受到关注。

此外，另一种经济高效的方法是钉扎控制(Pinning Control)。通过仅干预有限数量的网络节点，它可以降低成本，同时仍能有效控制整个网络。因此，钉扎控制被广泛应用于神经网络同步问题的研究 [31], [32], [33], [34]。Hui等人设计了一种结合周期性间歇控制和钉扎控制的混合控制器，在考虑分布式和离散延迟的情况下，实现了惯性神经网络的指数同步 [35]。Pan等人利用一致稳定函数设计了一种新颖的钉扎脉冲控制方案，用于分析随机延迟神经网络的同步问题 [36]。据我们所知，大多数关于钉扎控制的现有研究都假设钉扎节点是固定的，忽略了节点会根据实时状态信息动态变化的事实。

尽管通过上述讨论取得了一些进展，但在实现延迟惯性神经网络的固定时间同步方面仍存在一些挑战。现有的固定时间同步控制器通常依赖于符号函数，导致抖动现象。脉冲固定时间同步框架中的稳定时间估计往往比较保守。大多数钉扎策略是固定的，缺乏对系统演化的适应性。

为了解决这些问题，本文将使用具有两种动态节点选择规则的钉扎脉冲控制来解决延迟惯性神经网络的固定时间同步问题。通过应用李雅普诺夫函数理论和脉冲微分理论进行分析。本研究的主要贡献可总结如下。

(1) 与以往的工作 [18], [30] 相比，本文提出了一种由固定时间控制器和脉冲控制器组成的混合控制器来实现延迟惯性神经网络的固定时间同步，其中固定时间控制器不包含任何符号函数，从而可以避免网络中因符号函数引起的抖动现象。

(2) 本文引入了一种新颖的依赖于脉冲的稳定时间，进一步降低了固定时间稳定性的上界，从而减少了以往工作 [23], [37] 的保守性。

(3) 与现有的固定钉扎机制 [31], [32], [38] 相比，本研究中每个脉冲时刻的钉扎神经元是可变的。此外，考虑了两种钉扎规则，即随机选择钉扎(Random Selecting Pinning, RSP)规则和基于距离的钉扎(Distance-Based Pinning, DBP)规则。

本文结构如下。第2节介绍了包含模型描述和引理在内的准备工作。第3节的主要结果给出了实现固定时间同步的充分条件。第4节提供了两个数值算例。第5节对论文进行了总结并做出了一些展望。

Notations: 在本文中，R, R^?分别代表实数序列和一个?维欧几里得空间；N⁺代表正整数序列。欧几里得范数表示为 |A|，A^T表示矩阵的转置。δ(·) 表示狄拉克函数，右上达尼导数表示为 D⁺(·)。a ∨ b 表示 a 和 b 中的最大值。对于 x ∈ R，?x? 表示 x 的向下取整。

Preliminaries

在揭示主要结果之前，有必要提供模型描述和一些准备工作。

首先，考虑以下延迟惯性神经网络(Delayed Inertial Neural Networks, DINNs)：

χ?_i(r) = -α_iχ?_i(r) - β_iχ_i(r) + ∑_j=1^?c_ijf_j(χ_j(r)) + ∑_j=1^?d_ijf_j(χ_j(r-τ_j(r))) + Π_i, (1)

其中 χ_i(r) ∈ R 是第 i 个神经元的状态，i = 1, 2, ..., ?，χ?_i(r) 称为系统 (1) 的惯性项。f_j: R → R 是第 j 个神经元的激活函数。Π_i表示外部输入。α_i> 0 和 β_i> 0 代表常数，c_ij和 d_ij代表连接权重和...

FxTS of DINNs

为了实现延迟惯性神经网络(DINNs) 4 和 6 的固定时间同步(Fixed-time synchronization, FxTS)，我们为第 i 个神经元提出以下控制协议：

U_i(r) = {

-k₁ω_i(r) - k₂ω_i^m/n(r) - k₃ω_i^p/q(r), r ∈ [r_κ-1, r_κ),

∑_κ=1^+∞ζ₁?(κ,i) ω_i(r) δ(r - r_κ), r = r_κ, κ ∈ N⁺

}

和

?_i(r) = {

-k₁ω?_i(r) - k₂ω?_i^m/n(r) - k₃ω?_i^p/q(r) - k₄ω_i(r-τ_i(r)), r ∈ [r_κ-1, r_κ),

∑_κ=1^+∞ζ₂?(κ,i) ω?_i(r) δ(r - r_κ), r = r_κ, κ ∈ N⁺

}

其中 k₁, k₂, k₃, k₄> 0, ζ₁, ζ₂< 0, m, n, p, q 是满足 m < n 和 p > q 的正奇数。在每个脉冲时刻 r_κ，令 L(r_κ) 为标识被钉扎神经元的索引集。

Numerical Simulations

给出了两个数值算例，旨在验证我们推导出的理论结果的有效性。例1的主要目的是进行基本验证，即在随机选择钉扎(Random Selecting Pinning, RSP)规则下，所提出的混合控制器能否实现固定时间同步(FxTS)，以及稳定时间(SLT)是否与初始值无关。相比之下，例2旨在进行性能比较：在相同初始值下，将随机选择钉扎规则与基于距离的钉扎(Distance-Based Pinning, DBP)规则进行比较，以证明基于距离的钉扎...

Conclusion

本文提出了钉扎脉冲控制(Pinning Impulsive Control)结合李雅普诺夫函数(Lyapunov Function)实现延迟惯性神经网络(DINNs)的固定时间同步(FxTS)，其稳定时间(SLT)估计依赖于脉冲序列。值得注意的是，我们引入了两种钉扎规则，能够在每个脉冲时刻动态调整钉扎节点。通过将这些规则与混合控制器相结合，我们推导出了延迟惯性神经网络实现固定时间同步的充分判据。然而，仍有几个未解决的问题，包括：在脉冲控制下，如何实现延迟惯性神经网络的预设时间(Prescribed-time)同步...