线性隐式保结构格式求解薛定谔-亥姆霍兹方程的无条件收敛性分析 中文标题

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Unconditionally convergence of a linearly implicit and structure-preserving scheme for the Schr?dinger-Helmholtz equation

本文针对高维薛定谔-亥姆霍兹（Schr?dinger-Helmholtz, SH）方程，提出了一种基于修正蛙跳格式的线性隐式有限元方法。该方案在时间上避免了迭代计算，并证明了格式能够无条件地保持离散质量与能量守恒。文章进一步克服了高维空间的证明难点，利用Sobolev嵌入和逆不等式，首次严格论证了该方法在二维和三维情形下均能获得最优L2误差估计，且无需时间步长限制，在计算效率与理论完备性上取得了显著进展。

　　

研究亮点与主要结果

数值格式与主要结果

本节介绍了一种用于求解薛定谔-亥姆霍兹方程的线性隐式、保质量和能量守恒的数值格式及其主要成果。

主要结论的证明

我们引入一些知识以供后续分析使用。

数值实验

本节将通过几个实验来验证我们的理论结果。所有计算均通过软件FreeFem++完成。

例1

考虑如下的二维薛定谔-亥姆霍兹方程：

i u_t+ Δu ? φu = g₁(x, t),

φ ? Δφ = |u|²+ g₂(x, t),

在Ω = [0, 1]²区域内，初始条件为u(x, 0) = u₀(x)，边界条件为在?Ω上u = φ = 0。其中，函数g₁(x, t)和g₂(x, t)由以下精确解确定：

u = e^(i+1)t(1?x) sin(πx) (1?y) sin(πy),

φ = t x²sin(πx) y²(1?y).

为确认...

结论

本文证明了一种求解高维薛定谔-亥姆霍兹方程的蛙跳有限元方法具有无条件最优误差估计。与通过引入时间离散系统来证明误差估计的方法不同，我们证明的关键在于利用了不同时间层次上特定范数的误差估计、Sobolev嵌入定理和逆不等式。此外，所提出的格式能够无条件地保持质量和能量守恒，我们对此给出了严格的证明。