: 无界Poincaré域上三维随机全局修正Navier-Stokes方程的动力学与不变测度研究

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Random dynamics of solutions for three-dimensional stochastic globally modified Navier-Stokes equations on unbounded Poincaré domains

本文对无界Poincaré域上受无穷维加性噪声扰动的三维随机全局修正Navier-Stokes（SGMNS）方程进行了深入研究。论文通过引入Doss-Sussman变换和Minty-Browder技巧，首次证明了解的存在唯一性、系统随机吸引子的存在性，并在任何粘度系数ν>0时证明了不变测度的存在，以及大粘度条件下该测度的唯一性，为理解复杂流体的长期随机动力学行为提供了重要的数学理论框架。

　　

研究亮点

在力学和数学物理学中，研究动力系统的渐近行为是最重要和最全面的领域之一。在确定性无限维动力系统理论领域，吸引子的概念起着关键作用。在随机偏微分方程（SPDEs）随机动力学的研究中，一个基本问题是验证其是否产生随机动力系统（RDS）或随机流。对于It?随机常微分方程和一大类具有平稳随机系数的偏微分方程（PDEs）产生随机动力系统，这在文献中是众所周知的。无限维随机动力系统的分析也是研究随机偏微分方程定性性质的一个重要分支。

在有界区域中，随机吸引子的存在很大程度上基于嵌入关系V?H是紧致的这一事实，这使得分析变得更容易。然而，在无界区域的情况下，嵌入关系V?H不再是紧致的。因此，我们无法使用紧致性准则来证明随机吸引子的存在。在确定性情况下，这一难题（在无界域中）通过不同方法得到了解决。对于随机偏微分方程，确定性情况下可用方法也已被多位作者推广。随后，这一概念被用于证明多种随机偏微分方程随机吸引子的存在。在无界区域，文献中常用的方法如下：

1. 1.
   Ball引入的能量等式方法；
2. 2.
   Wang引入的一致尾估计方法。

需要注意的是，与Navier-Stokes方程和对流Brinkman-Forchheimer方程不同，我们无法证明随机全局修正Navier-Stokes系统（1.5）的解关于初始数据满足弱连续性性质，即当x_n在H中弱收敛于x时，不能必然推出以x_n和x为初始数据的系统（2.8）的弱解u_n(t)和u(t)在H中弱收敛。由于这个原因，我们无法使用能量等式方法来获得与系统（1.5）相关的随机动力系统的渐近紧致性。因此，我们探索使用一致尾估计方法来证明渐近紧致性。

备注1：

在讨论有界区域Ω上的吸引子时，可以考虑外力项f∈H^-1(Ω)。但对于无界区域情况，我们需要限制外力项在一个更正则的空间中，即f∈L²(Ω)。如果能够证明随机全局修正Navier-Stokes方程解关于初始数据的弱连续性，则有可能通过能量等式方法处理与有界区域情况相同的正则性。遗憾的是，我们无法证明随机全局修正Navier-Stokes方程解关于初始数据的弱连续性，因此能量等式方法不适用。

主要内容概述

本文主要分为三个部分。我们的首要目标是建立随机全局修正Navier-Stokes（SGMNS）方程（1.5）弱解（在解析意义下）的存在性和唯一性。我们首先定义一个取值在H∩L⁴(Ω)空间中的Ornstein-Uhlenbeck过程。为了定义一个合适的Ornstein-Uhlenbeck过程，与粗糙噪声相关的一个技术难题通过使用相应的再现核希尔伯特空间（RKHS）得以解决。具体来说，受关于无界Poincaré域上二维Navier-Stokes方程工作的启发，我们假设RKHS空间K满足以下假设：

假设1：

K?H∩L⁴(Ω)是一个希尔伯特空间，对于某个δ∈(0, 1/2)，有A^-δ: K→H∩L⁴(Ω)是γ-可测的。

备注2：

1. 1.
   若我们固定p∈(1, ∞)。令(X_i, A_i, ν_i), i=1,2，为σ-有限测度空间。有界线性算子R: L²(X₁)→L^p(X₂)是γ-可测的，当且仅当存在可测函数κ: X₁×X₂→R使得∫{X_2}[∫{X_1}|κ(x_1, x_2)|^2 dν_1(x_1)]^{p/2} dν_2(x_2)<∞，并且对于几乎所有x_2∈X_2，(R(f))(x_2)=∫{X_1}κ(x_1, x_2)f(x_1)dν_1(x_1), f∈L²(X₁)。因此，如果Ω是有界区域，那么当且仅当∫O[∑j λ_j^{-2s}|e_j(x)|^2]^{p/2} dx<∞时，A^-s: H→L^p(O)是γ-可测的，其中{e_j}{j∈N}是H的正交基，且Ae_j=λ_j e_j, j∈N。在三维有界域上，我们知道对于大的j，λ_j～j^2/3，因此A^-s是希尔伯特-施密特算子当且仅当s>3/4。换句话说，取K=D(A^s)，则嵌入关系K?H∩L⁴(Ω)是γ-可测的当且仅当s>3/4。因此，对于任何δ>0，假设1均能满足。事实上，条件（1.6）成立当且仅当算子A^-(s+δ): H→H∩L⁴(Ω)是γ-可测的。
2. 2.
   假设1中要求δ<1/2是必要的，因为我们需要相应的Ornstein-Uhlenbeck过程取值于H∩L⁴(Ω)空间。

利用Ornstein-Uhlenbeck过程，我们定义了一个Doss-Sussman变换，并得到了一个与系统（1.5）等价的路径性确定性系统。接下来，我们通过单调性论证和Minty-Browder技巧，证明了该等价路径性确定性系统存在唯一弱解，其中算子G_N(·)+ (7^7·N^8)/(2^13·ν^7) I:= νA·+ B_N(·+ Z) + (7^7·N^8)/(2^13·ν^7) I的以下单调性结果起着关键作用：

〈G_N(v_1) - G_N(v_2), v_1 - v_2〉+ (7^7·N^8)/(2^13·ν^7) ‖v_1 - v_2‖_H²≥ 0, 对于任何v_1, v_2∈V。

系统（3.17）的整体可解性有助于建立系统（1.5）弱解的存在性和唯一性。我们在此指出，早期的论文通过取初始数据u_0∈V，并使用Faedo-Galerkin逼近技术、紧致性论证以及V?H的稠密性，讨论了问题（1.3）的可解性结果。然而，如果初始数据取在H中，我们无法立即在近似系统所满足的方程中取极限，尤其是在包含F_N(‖u^n‖_V)的项中。最近，在有界区域的情况下，作者使用了单调性论证和Minty-Browder技巧来克服这个问题。但是，如果我们在无界区域中考虑模型（1.5），紧致性论证似乎仍然有效，我们可能不需要使用Minty-Browder技术来获得当初始数据在H中时的整体可解性结果。由于我们处理的是无界区域，我们需要使用Minty-Browder技术来获得当初始数据在H中时模型（1.5）的整体可解性结果。

备注3：

值得一提的是，为了运用Doss-Sussman变换，在分析系统（1.3）的随机对应版本时，必须考虑光滑的无穷维加性噪声（即再现核希尔伯特空间取值于V）。然而，在分析系统（1.5）的随机对应版本时，只需要再现核希尔伯特空间取值于H∩L⁴(Ω)，这是考虑修正版本（1.5）的主要优势之一。

其次，我们感兴趣的是SGMNS方程（1.5）解的长时间行为。与二维Navier-Stokes方程类似，研究在整个空间R³上SGMNS方程的长时间行为是一个具有挑战性的问题。然而，受诸多有趣研究的启发，我们可以在满足Poincaré不等式的无界Poincaré域上尝试此类分析。所谓Poincaré域，指的是满足Poincaré不等式的域。R³中无界Poincaré域的一个典型例子是O=R²×(-L, L)（L>0）。更确切地说，我们对区域Ω做以下假设：

假设2：

设Ω是R³的一个开、连通、无界子集，其边界一致地属于C³类。我们假设存在正常数λ，使得以下Poincaré不等式成立：

λ ∫O |ψ(x)|^2 dx ≤ ∫O |?ψ(x)|^2 dx, 对所有ψ∈H₀¹(Ω)。

备注4：

当Ω是有界区域时，Poincaré不等式自动满足，其中λ=λ₁，λ₁是定义在有界区域上的Stokes算子的第一特征值。因此，本工作的结果在有界区域上也成立。

我们的最终目标是证明SGMNS方程（1.5）不变测度的存在性。Crauel等人证明了不变测度存在的一个充分条件是存在紧的不变随机集。他们利用这个想法证明了有界域上二维随机Navier-Stokes方程和反应扩散方程不变测度的存在性。此外，在无界域上，这个想法也被用于建立二维随机Navier-Stokes方程、二维和三维随机对流Brinkman-Forchheimer方程的不变测度存在性。由于我们证明了随机吸引子的存在性，其本身就是一个紧的不变集，因此不变测度的存在性得以保证。此外，对于足够大的ν>0，我们利用解的指数稳定性来证明系统（1.5）不变测度的唯一性。

现在，我们陈述我们的主要结果，其证明来自定理5、定理6、定理7和定理10。

定理1：

在假设1和假设2下，

(i) 存在唯一的（在解析意义下的）弱解满足SGMNS方程（1.5）；

(ii) SGMNS方程（1.5）存在唯一的随机吸引子；

(iii) SGMNS方程（1.5）存在不变测度；

(iv) 对于ν > (7N/2)(1/(112λ))^(1/8)，该不变测度是唯一的。

除了这些结果，附录中还通过证明当N→∞时，三维GMNS方程的弱解序列收敛于三维Navier-Stokes方程的弱解，讨论了所考虑的三维GMNS方程版本的有效性。

备注5：

值得注意的是，系统（1.4）在文献[46]中也曾被考虑，用于通过全局修正Navier-Stokes方程（1.4）来研究三维Navier-Stokes方程的弱全局吸引子。我们将在未来的项目中，通过随机全局修正Navier-Stokes方程（1.5），研究受无穷维粗糙加性噪声扰动的三维随机Navier-Stokes方程的弱随机吸引子。

文章结构

论文的其余部分组织如下：下一节，我们提供了获得系统（1.5）解的存在性、唯一性及随机吸引子所必需的函数空间。我们还定义了线性与非线性算子，并解释了它们的性质。此外，我们在同一节中给出了系统（1.5）的抽象表述。第3节利用随机变换（称为Doss-Sussman变换）构建了对应于SGMNS方程的度量动力系统（MDS）和随机动力系统（RDS）。同一节还通过使用单调性论证和Minty-Browder技巧，建立了变换后SGMNS方程满足能量等式的弱解的存在唯一性（定理2）。第4节提供了本文的主要结果，即在Poincaré域上三维SGMNS方程随机吸引子的存在性。为此，我们首先给出了引理2，它为我们提供了系统（3.17）解的能量估计。基于引理2，我们在定义4中引入了一类新函数K。然后，我们使用K类中的函数定义了闭且有界随机集类DK。接下来，我们在引理7中证明了系统（3.17）解的一致尾估计。通过证明定理6（该定理断言在Poincaré域上由SGMNS方程生成的RDS Φ是DK-渐近紧致的），我们达成了目标。因此，根据文献[6, 定理2.8]，推导出Φ的随机吸引子的存在性。最后一节，我们证明了在Poincaré域上系统（1.5）不变测度的存在性（定理7），并且对于足够大的ν，我们证明了该不变测度的唯一性（定理10）。在附录A中，我们证明存在三维GMNS方程（1.4）的弱解序列，当N→∞时收敛于三维Navier-Stokes方程（1.1）的一个弱解。

结论