Morse理论为描述标量场的全局拓扑提供了严格的数学基础（Morse，1934年）。在此基础上，Morse–Smale复形（MSC）通过将流形划分为与这些流相关的稳定和不稳定区域，准确表征了标量场内梯度流的全局组织（Thanh等人，2024年）。然而，经典的Morse理论和MSC公式假设标量场是连续且可微的，这一假设在实际数值模拟或实证测量中往往难以满足。
离散Morse理论将经典Morse理论扩展到离散数据结构，同时保持拓扑一致性，从而可以直接应用于基于网格的数据，以提取梯度流和识别关键点。这反过来又促进了MSC的计算构建（Ophelders等人，2025年）。
极值图可以被视为MSC框架内的一个拓扑骨架子结构（Correa等人，2011年）。它选择性地保留极值点（最大值和最小值）及其直接连接的鞍点，通过梯度流路径建立拓扑关系。与完整的MSC结构相比，极值图大大减少了存储需求，同时保留了梯度流的基本全局骨架。
由于其紧凑性、表示清晰度和低计算开销，极值图已被广泛应用于各种应用领域，包括标量场分割（Das等人，2024年；Tierny和Pascucci，2012年）、流场结构提取（Weinkauf等人，2010年）、特征跟踪和事件检测（Gyulassy等人，2007年）、时空数据演化分析（Bremer等人，2010年），以及高维数据的拓扑聚类和降维（Liu等人，2017年）。在处理大规模、非结构化、噪声或高维数据集时，由于其轻量级架构和固有的拓扑稳定性，极值图表现出更强的可扩展性和鲁棒性。
随着高分辨率数据的持续增长，高效构建极值图同时保持拓扑准确性已成为拓扑分析中的一个关键研究问题。然而，目前有两个主要挑战阻碍了极值图的构建：（1）对于定义在非结构化网格上的标量场，仍然没有高效的极值图计算方法；（2）标量场中鞍点的确定效率低下，且高度依赖于结构化网格。
Tachyon（Ande等人，2023年）和ExTreeM（Lukasczyk等人，2023年）提出了基于Morse理论的鞍点识别方案，适用于结构化网格。然而，这些方法需要穷尽式的逐点评估，并且严重依赖于结构化网格的规则性来简化邻居搜索和连通性分析。
对于非结构化网格，现有方法只能进行显式的逐点遍历，效率极低。在遍历过程中，不仅需要识别所有相邻元素，还需要确定它们之间的连通性。到目前为止，还没有一种方法能够高效地为非结构化网格构建极值图。
为了解决这些挑战，本文提出了AnyEG，这是一种针对任意网格类型设计的新型高效极值图构建框架。所提出的方法不依赖于网格结构，支持结构化和非结构化网格。它采用路径压缩策略快速识别与每个顶点相关的极值控制区域，从而避免了全局梯度流路径的显式计算。
此外，还开发了一种快速的鞍点检测机制，引入了边界鞍点的概念以进一步加速鞍点识别。尽管PLMSS（Maack等人，2024年）也计算了区域分隔器，但它仅使用了区域的概念，而没有提出具体的鞍点识别策略。相比之下，我们的方法明确地制定了一种原则性且高效的鞍点确定方案，为极值图构建做出了新颖的贡献。
通过利用离散Morse理论对边界鞍点进行拓扑细化，AnyEG大幅减少了冗余的鞍点检测和内存访问开销。此外，它是Topology ToolKit (TTK)框架内第一个基于GPU加速的实现。
最后，通过基于持久性的图结构过滤和弧线捆绑技术，AnyEG
构建了一个稀疏但拓扑精确的极值图。
本文的主要贡献总结如下：
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我们首次提出了一种通用的并行极值图构建框架，适用于任意维度的结构化和非结构化网格，无需依赖结构化网格的假设；
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我们设计了一种新型的快速鞍点检测机制，将路径压缩与场域边界分析相结合，大幅降低了计算复杂性；
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我们在Topology ToolKit (TTK)框架内实现了第一个基于GPU加速的极值图计算方法，并在各种结构化和非结构化数据集上进行了验证。实验结果表明，在保持拓扑正确性的同时，性能显著提升。
