Riemannian曲面乘积中的极小曲面：几何约束、拓扑限制与构造新方法

《Differential Geometry and its Applications》：Minimal surfaces in the Riemannian product of surfaces

在Riemannian几何中，探究乘积流形中的极小曲面是理解高维子流形的重要课题。本文系统研究了两个一般曲面乘积空间（Σ1×Σ2，G=g1⊕g2）中的极小曲面。作者通过几何分析与拓扑工具，给出了全测地曲面的刚性刻画，证明了负曲率条件下不存在极小2-球面，并得到了极小2-环面必为Lagrangian（对两个乘积辛结构）。此外，文章还构建了一类新的由sinh-Gordon方程解生成的1-参数族极小曲面，并得到了紧致极小曲面面积下界的精确估计。这项工作不仅丰富了乘积空间极小曲面的理论，也为相关几何和拓扑问题的研究提供了新视角。

　　

在微分几何中，研究高维流形中的极小曲面是连接几何、拓扑和分析的经典问题。特别是在Riemannian乘积流形中，由于其特殊的结构对称性，极小曲面常展现出丰富的几何现象和严格的约束条件。过去的研究大多集中于常曲率曲面的乘积，如S²×S²、H²×H²等，因为它们与三维常曲率空间的定向测地线空间密切相关。然而，对于更一般的Riemannian曲面乘积（Σ₁×Σ₂，G=g₁⊕g₂），其中（Σ_k，g_k）是任意Riemannian曲面，其极小曲面的系统研究相对缺乏。这种一般乘积空间带有两个自然的K?hler结构（G，J₁，Ω₁）和（G，J₂，Ω₂），为研究子流形的复结构、Lagrangian性质与极小性之间的相互作用提供了绝佳框架。现有研究对乘积中的全测地曲面、复曲面和Lagrangian曲面已有了解，但更一般的极小曲面（既非复也非Lagrangian）的分类、存在性、拓扑限制以及几何量（如面积、曲率）的估计等问题仍不清楚。特别是，当乘积因子具有可变或负曲率时，极小曲面是否会受到更强的限制？其拓扑类型（如球面、环面）是否被禁止？能否构造出新的非平凡极小曲面族？这些问题尚未得到系统回答。本文正是为了回答这些问题，对一般Riemannian曲面乘积中的极小曲面进行了全面的几何与拓扑分析，揭示了若干刚性定理、存在性结果和最优估计，极大地推进了我们对这类空间中子流形几何的理解。

主要技术方法

作者采用了微分几何的经典方法进行研究。主要技术包括：利用Riemannian乘积空间的Levi-Civita联络公式计算子流形的第二基本形式，以此分析极小条件和全测地条件。通过研究子流形的K?hler函数C_k（定义为F^*Ω_k=C_kω_S）和高斯映射的性质，建立了曲面几何量（如高斯曲率K、法曲率K^⊥）与乘积因子曲率之间的关系。在证明拓扑不存在性定理时，运用了Gauss-Bonnet定理和积分估计。在构造新的极小曲面族时，利用了sinh-Gordon方程的解与Weierstrass表示之间的联系，将解的某种组合直接转化为乘积空间中的等距极小浸入。在推导面积下界和曲率不等式时，结合了子流形的结构方程、Codazzi方程和比较几何中的极值原理。

研究结果

1. 全测地曲面的刚性刻画

作者首先研究了乘积空间中最简单的一类极小曲面——全测地曲面（即第二基本形式为零）。通过直接计算浸入F:S→Σ₁×Σ₂的第二基本形式，并利用乘积联络的分解，得到了以下刚性结果：

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  结论：设（Σ₁，g₁）和（Σ₂，g₂）是任意Riemannian曲面，其高斯曲率分别为K₁和K₂。如果F是全测地浸入，并且对于曲面上任意一点p，都有K₁(F(p))≠K₂(F(p))，那么F(S)局部上要么是一个“切片”（即形如Σ₁×{q}或{p}×Σ₂的子流形），要么是两个测地线的乘积（即形如γ₁×γ₂的子流形，其中γ_k是Σ_k中的测地线）。
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  意义：这个定理表明，在乘积因子曲率处处不相等的一般情形下，全测地曲面的形态是极其受限的，只能是平凡的子流形。这推广了常曲率乘积空间中的已知结果。

2. 由sinh-Gordon方程构造的极小曲面族

为了展示非平凡极小曲面的存在性，作者提供了一个显式的构造方法：

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  结论：如果X₁，X₂:C→R是两个光滑的sinh-Gordon方程（X_zz+(1/2)sinh(2X)=0）的解，那么存在一个1-参数族极小浸入F_t:C→S²_q×S²_q，其中S²_q是任意2维实空间形式（常曲率q）。所有F_t诱导的度量都相同，为4cosh(X₁+X₂)cosh(X₁-X₂)|dz|²，其K?hler函数为C₁=tanh(X₁-X₂)和C₂=tanh(X₁+X₂)。
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  意义：这个构造非常重要，它提供了一类具体的极小曲面例子，这些曲面通常既不是复曲面（|C_k|≠1），也不是Lagrangian曲面（C_k≠0）。它将经典可积系统（sinh-Gordon方程）的解与乘积空间中的极小曲面联系起来，是S²×S²中已知结果的推广。

3. 紧致极小曲面的拓扑限制

作者深入研究了紧致极小曲面的拓扑类型，得到了强有力的限制定理。

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  关于球面的不存在性：如果（Σ₁，g₁）和（Σ₂，g₂）都是具有负高斯曲率的定向Riemannian曲面，那么在Σ₁×Σ₂中不存在任何极小浸入的2-球面。
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  关于环面的Lagrangian性质：如果一个2-环面被极小浸入到负曲率曲面的乘积中，那么它必然同时关于两个乘积辛结构Ω₁和Ω₂是Lagrangian的（即F^*Ω₁=0且F^*Ω₂=0）。
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  意义：这些结果揭示了乘积空间背景曲率的符号对极小曲面拓扑的强烈制约。负曲率完全排除了球面的可能性，并迫使极小环面具有特殊的（Lagrangian）几何结构。

4. 极小2-球面的面积下界

对于可以存在的极小2-球面，作者得到了其面积的一个最优下界估计。

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  结论：假设（Σ₁，g₁）和（Σ₂，g₂）不都是平坦的，且都具有有界高斯曲率K₁和K₂。如果F:S→Σ₁×Σ₂是2-球面的一个极小嵌入，则其面积|S|满足：|S| ≥ 4π / max{ sup_x∈Σ1|K₁(x)|， sup_y∈Σ2|K₂(y)| }。
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  意义：这是一个尖锐的几何不等式。它表明，乘积因子曲率的绝对值越大（即空间“弯曲”得越厉害），其中可能存在的极小2-球面的面积就必须越大。这为理解和分类此类极小曲面提供了重要的量化标尺。

5. 高斯曲率与法曲率的刚性关系

对于一般的紧致定向极小曲面，作者研究了其内蕴曲率（高斯曲率K）与外在曲率（法曲率K^⊥）的组合所满足的微分不等式，并导出了刚性结论。

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  结论：设F:S→Σ₁×Σ₂是紧致定向极小曲面的一个极小浸入，且对应的几何量M_j不为零。则有：
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    (1) 如果K+(-1)^j+1K^⊥≥ 0处处成立，那么F要么是关于复结构J_j的复曲线，要么是关于辛结构Ω_j的Lagrangian曲面。
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    (2) 如果两个乘积因子都有负曲率，那么K+(-1)^j+1K^⊥< 0不可能在整个F上处处成立。
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  意义：这个定理建立了子流形曲率符号、复/Lagrangian几何性质以及背景空间曲率之间的深刻联系。它表明，在特定条件下，曲率算子的某种非负性会迫使曲面成为具有特殊几何结构的子流形（复或Lagrangian），这为在一般乘积流形中识别这类特殊子流形提供了有效的曲率判据。

结论与讨论

本文对Riemannian曲面乘积空间（Σ₁×Σ₂，G=g₁⊕g₂）中的极小曲面进行了系统而深入的研究，得到了一系列涵盖存在性、不存在性、分类、估计和刚性的重要结果。研究首先明确了全测地曲面的极度刚性形态。进而，通过联系sinh-Gordon方程，构造出了一类新的1-参数族极小曲面，证明了在一般乘积空间中存在大量既非复也非Lagrangian的“非标准”极小曲面，丰富了此类曲面的实例库。

在拓扑方面，文章揭示了背景曲率符号的关键作用：在负曲率因子的乘积中，极小2-球面被完全禁止，而允许存在的极小2-环面则必然具有双Lagrangian的强几何约束。这为理解此类空间中极小曲面的拓扑障碍提供了清晰图景。对于允许存在的极小2-球面，文章给出了其面积依赖于乘积因子最大曲率绝对值的尖锐下界，这是一个最优的几何不等式。

更为深刻的是，作者通过分析子流形的高斯曲率与法曲率的组合，建立了曲率符号与子流形的复/Lagrangian几何结构之间的刚性定理。该结果表明，在特定曲率条件下，极小曲面“被迫”呈现出更特殊的几何对称性。这些结论不仅推广和统一了先前在常曲率乘积（如S²×S²）中的许多特定结果，更重要的是将它们置于更一般、更可变的Riemannian背景下，揭示了现象背后的普适几何原理。

本研究的核心意义在于，它极大地深化了我们对高余维（此处为余维2）子流形，特别是在具有乘积对称性的Riemannian流形中，其极小性、几何结构与拓扑性质之间复杂相互作用的理解。所发展的方法和得到的定理，为后续研究更一般的乘积流形、具有其他几何结构的流形（如K?hler-Einstein流形）中的极小曲面，以及相关的几何分析和拓扑问题提供了有力的工具和全新的视角。论文发表在《Differential Geometry and its Applications》上，体现了其在微分几何领域的理论价值。