关于欧氏空间中极小子流形等周不等式的改进及其最优常数探究

《Differential Geometry and its Applications》：A note on isoperimetric inequality for a minimal submanifold in Euclidean space

本文探讨了关于欧氏空间中紧致带边子流形等周不等式的改进。作者针对Brendle先前提出的不等式，在余维m≥3时给出了更优的常数，证明了原不等式在该情况下从非最优变为可改进，并通过修正的关键不等式（bm/2? am/2≤ (m/2)·bm/2-1·(b ? a)）建立了主要结果（定理1.2）及相应的Sobolev不等式（推论1.4），深化了几何不等式理论。

　　

章节精选

主要定理的证明

对于流形M上的每一点x，我们分别用T_xM和T_x^⊥M表示该点处的切空间和法空间。用II表示第二基本形式，其迹给出平均曲率向量，记为H。最后，用η表示边界?M的外法余向量。

首先，我们考虑M是连通的情形。存在一个常数r > 0，使得：

边界面积(?M) + ∫_M|H| d(体积) = r n 体积(M)

由于M连通，我们可以找到一个函数u: M → R，满足以下条件：

在M内部： Δ_Mu = r n ? |H|

在边界?M上： 〈?^Mu(x), η(x)〉 = 1