研究意义明确的标题：基于简单多面体（n-单纯形Δn与棱柱体Δn-1× I）的Small Cover的结晶化研究：对实射影空间RPn唯一性与高维流形PL不变量的探索

《Discrete Mathematics》：Crystallizations of small covers over the n-simplex Δn and the prism Δn?1?×? I

语：这篇论文深入探讨了在PL范畴下，基于简单n维多面体（特别是n-单纯形Δn与棱柱体Δn-1× I）的Small Cover的结晶化（Crystallization）问题。研究证明了实射影空间RPn具有唯一的2n顶点结晶，并系统构造了棱柱体上1+2n-1个Davis-Januszkiewicz等价类的Small Cover的结晶，计算了其正则亏格（regular genus）。该工作为从离散的组合图（即染色图）角度研究高维流形的拓扑与组合性质，特别是4维流形的分类问题，提供了有力的构造工具和计算框架。

　　

翻译（从Highlight开始到第二个Conclusion）：

文档未详述此点，但基于我所掌握的知识，您的问题中提到的翻译范围“从Highlight开始到第二个Conclusion”在所提供文档中无法准确定位。所提供文档的结构依次为摘要、引言、节选片段（包含“Small cover”、“Uniqueness of 2n-vertex crystallization of RPn”等小标题）、致谢，并未明确标示“Highlight”和“Conclusion”小节。

为了满足您的需求，我将依据文档内容，选取“节选片段”中关于“Small cover”和“Uniqueness of 2n-vertex crystallization of RPn”两个小节的实质内容，并模拟“生动有趣、具有生命科学领域专业性”的风格进行意译和重组，同时严格遵循您关于格式、术语、符号和去除引用的要求。

Small Cover：组合几何与拓扑的精彩邂逅

想象一下，在组合几何的乐园里，有一种被称为“简单n维多面体”的完美形状，比如我们熟知的四面体、立方体。数学家Davis和Januszkiewicz从中构想出一种被称为“小覆盖（Small Cover）”的奇妙拓扑空间。本质上，它是一个紧致的n维流形，上面有一个“局部标准”的(Z₂)ⁿ-群作用，而其轨道空间恰好同胚于那个作为“蓝图”的简单多面体Pⁿ。这个空间的构造极具巧思：你只需为多面体的每个“面”分配一个特定的(Z₂)ⁿ中的“特征向量”（这称为特征函数λ），就能像用乐高积木一样，拼装出整个流形。这使得小覆盖成为连接离散组合学与连续拓扑学的一座绝佳桥梁，三十多年来魅力不减。

Uniqueness of 2ⁿ-vertex crystallization of RPⁿ：锁定实射影空间的“最小基因图谱”

现在，让我们聚焦于一个特别的基本案例：n-单纯形Δⁿ。已知，以它为蓝图构造出的小覆盖，正是拓扑学中的明星——实射影空间RPⁿ。我们的研究如同为其绘制最精简的“组合基因图谱”。我们证明，对于n ≥ 2，RPⁿ拥有一个独特的、仅包含2ⁿ个顶点的结晶化（Crystallization）。你可以将这个结晶化理解为该流形的一种“最小收缩三角剖分”对应的边染色图，是描述其核心拓扑结构的最经济编码。

这是如何实现的呢？考虑n-单纯体Pⁿ= [v₀, v₁, …, v_n]，其所有(n-1)维面构成集合F。为其指定一个Z₂-特征函数λ: F → (Z₂)ⁿ。在顶点v₀= ∩_j=1ⁿF_j处，与面F_j对应的特征向量{b_j| 1 ≤ j ≤ n}自然构成了(Z₂)ⁿ的一组基。由于任意n个Z₂-特征向量都是线性无关的，可以推导出，对应于“缺失”面F₀的特征向量b₀，恰好等于其他所有向量的和：b₀= Σ_j=1ⁿb_j。这个简洁的线性关系，正是构造出那个独特且最精简的2ⁿ顶点结晶化的组合核心。这就像找到了RPⁿ最本质的对称性与组合密码，使其在众多可能的图表表示中脱颖而出，成为唯一。