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本文对秩（rank）不超过3的拟阵独立集多面体（Matroid independence polytope）和基多面体（Matroid base polytope， 针对图拟阵（Graphic matroid））进行了完整的刻画与分类（Theorem 1.1， 1.2）。论文的核心意义在于将这些秩较小的拟阵多面体与序多面体（Order polytopes）、稳定集多面体（Stable set polytopes）和边多面体（Edge polytopes）进行比较，系统地分析了它们之间的包含关系（Theorem 1.3），揭示了各类多面体在“小秩”情形下的本质联系与区别，为拟阵多面体的几何组合性质提供了新的深刻洞见。
1引言
2分类与刻画
3关联研究
1. 引言
拟阵独立集多面体（又称拟阵独立性多面体）与拟阵基多面体，分别定义为拟阵所有独立集与基的指示向量的凸包。这些多面体已被从组合学、交换代数和代数几何的多种角度进行研究。例如，拟阵多面体的规范性（normality [11, 29]）、环面环（toric ring）的定义理想（[3, 18, 30]）、戈尔斯坦性质（Gorensteinness [12, 17, 19]）以及拟戈尔斯坦性质（nearly Gorensteinness [9]）都已被深入探索。此外，它们与序多面体、稳定集多面体等其他多面体类的关系也有所研究（[1, 2]）。本文重点关注小秩的拟阵多面体，分析其性质及与其他多面体的关系。
对于一个维数大于等于1的整点多面体（lattice polytope）P，其秩（rank）定义为 rank P := F ? (dim P + 1)，其中F表示P的面（facets）的数量。注意到秩 rank P 是一个非负整数。多面体的秩是一个非常重要的不变量，因为它与环论意义相关：如果环面环 k[P] 是正规的，则 rank P 等于 k[P] 的除子类群（divisor class group）的秩（参见 [27, Theorem 9.8.19]）。在文献 [15] 和 [20] 中，研究者已通过秩研究了(0,1)-多面体。特别地，在论文 [15] 中，序多面体、稳定集多面体和边多面体这些秩较小的多面体，通过刻画其底层组合对象，已经被分类到幺模等价（unimodular equivalence）的意义下。我们称两个格点多面体 P, P′ ? Rd是幺模等价的，如果存在一个格向量 v ∈ Zd和一个幺模变换 f ∈ GLd(Z)，使得 P′ = f(P) + v，记作 P ? P′。已知，如果两个格点多面体 P, P′ ? Rd具有整数分解性质（integer decomposition property），那么 P ? P′ 当且仅当 k[P] 和 k[P′] 作为k-代数是同构的（参见 [4, Theorem 5.22]）。
本文的目标是在这些工作的基础上，对小秩的拟阵多面体（等价地，对除子类群秩较小的拟阵多面体的环面环）进行分类，并将它们与其他多面体类进行比较。
对于一个图 G，令 M(G) 为其图拟阵。我们刻画了秩至多为三的拟阵独立集多面体和图拟阵基多面体，如下所示：
定理 1.1（对应正文定理3.2及推论3.3）
设 M 是一个连通拟阵，P(M) 是 M 的拟阵独立集多面体。那么我们有 rank P(M) = 0 或 rank P(M) ≥ 3。而且，我们可以看出：
（1）rank P(M) = 0 当且仅当 P(M) ? P(M(As)) 对于某个 s ∈ Z>0（正整数）。
（2）rank P(M) = 3 当且仅当 P(M) ? P(M(Ds1, s2, s3)) 对于某个 s1, s2, s3∈ Z>0。
特别地，如果 rank P(M) ≤ 3，则 P(M) 是一个图拟阵的独立集多面体。
定理 1.2（对应正文定理3.7）
设 M 是一个2-连通（不一定为简单图）图的图拟阵，B(M) 是 M 的拟阵基多面体。则我们有如下结论：
（1）rank B(M) = 0 当且仅当 B(M) ? B(M(As+1)) 对于某个 s ∈ Z>0。
（2）rank B(M) = 1 当且仅当 B(M) ? B(M(Bs,p)) 对于某个 s, p ∈ Z>0。
（3）rank B(M) = 2 当且仅当 B(M) ? B(M(Bs1, s2, p)) 对于某个 s1, s2∈ Z>0且 p ∈ Z≥0（非负整数）。
（4）rank B(M) = 3 当且仅当 B(M) 与以下拟阵基多面体之一幺模等价：
（i）B(M(Bs1, s2, s3, p)) 对于某个 s1, s2, s3∈ Z>0且 p ∈ Z≥0；
（ii）B(M(Cs, t, p, q)) 对于某个 s, q ∈ Z>0且 t, p ∈ Z≥0；
（iii）B(M(Ds1+1, s2+1, s3+1)) 对于某个 s1, s2, s3∈ Z>0。
2. 分类与刻画
2.1 准备工作
本节为后续讨论准备所需的对象。
2.2 小秩拟阵多面体的分类
本节分别分类了秩至多为3的独立集多面体和基多面体。
3. 关联研究
3.1 我们多面体之间的关系
本节利用上一节的结果，讨论秩为 n = 0, 1, 2, 3 时，MIn, GMBn, Ordern, Stabn 和 Edgen 这五个由秩决定的幺模等价类集合之间的关系。这些集合定义为：
MIn := {秩为 n 的拟阵独立集多面体} / ?；
GMBn := {秩为 n 的图拟阵基多面体} / ?；
Ordern := {秩为 n 的序多面体} / ?；
Stabn := {秩为 n 的完美图（perfect graphs）的稳定集多面体} / ?；
Edgen := {满足奇圈条件（odd cycle condition）的图的边多面体（其秩为 n）} / ?。
我们有如下定理：
定理 1.3（对应正文命题4.4, 4.5, 4.8）
我们有以下关系：
（1）MI0= GMB0= Stab0。
（2）对于 n = 1, 2，有 MIn ? GMBn ? Stabn。
（3）对于任意 S ∈ {MI2, GMB2}，在 S 和 Edge2之间不存在包含关系。
（4）对于 {MI3, GMB3, Order3, Stab3, Edge3} 中任意两个不同元素 S 和 T，在 S 和 T 之间不存在包含关系。此外，我们有 MI3? Order3∪ Stab3∪ Edge3∪ GMB3并且 GMB3? Stab3∪ Edge3。
本文结构如下：第2节准备后续讨论所需的材料，回顾与（图）拟阵和图的定义及符号。第3节分别刻画秩至多为3的拟阵独立集多面体和基多面体。第4节研究 n ≤ 3 时 MIn, GMBn, Ordern, Stabn 和 Edgen 之间的关系。
