综述：C. F. v. Weizs?cker关于准平稳各向同性湍流与Onsager统计流体动力学的比较

《Natural Sciences》：C. F. v. Weizs?cher on Quasistationary Isotropic Turbulence Compared With Onsager's Statistical Hydrodynamics

这篇综述回顾并比较了物理学家C. F. v. Weizs?cker与Lars Onsager关于湍流能量传输5/3定律的历史性推导。作者重点阐述了Weizs?cker在1948年通过实数空间量纲分析的方法，并将其与Onsager在波数(k)空间的经典推导进行对照。文章深入探讨了Weizs?cker方法如何为后来的分形β模型提供先见，并进一步延伸到β模型，同时对湍流理论中同质性和各向同性的核心假设在现代实验证据下的局限性进行了批判性讨论，为湍流研究提供了历史视角与理论演进的深刻洞察。

　　

1 我是如何读到v. Weizs?cker 1948年论文的

Carl Friedrich v. Weizs?cker是海森堡在二战期间的重要合作者。2003年，作者从海森堡的最后一批学生之一Herbert Wagner那里获得了Weizs?cker和海森堡1948年关于湍流的论文副本。Wagner认为海森堡的论文可能是重整化群应用于湍流的先驱。作者直到2021年才深入研究这些论文。Weizs?cker的论文对湍流小尺度处理较为表面，但其在实数空间进行的量纲分析具有历史意义，因为它可以与Onsager在波数空间的量纲分析进行对比，并且预示了湍流级串的分形β模型。作为Onsager的最后一位物理学学生，作者是通过C. C. Lin关于二维涡动力学的论文被引入流体动力学的，并首次阅读了Onsager的统计流体动力学工作。Onsager的贡献是引人注目的，他在二维涡动力学中引入了负温度、在⁴He中引入了量子化环流以及统计流体动力学的概念。Weizs?cker提出的涡块划分，在表面上也让人联想到作为重整化群前身的块自旋方法。

2 临界现象中的Kadanoff块自旋方法

Kadanoff的块自旋方法是Wilson重整化群方法的前身，用于计算临界点附近的标度指数。在湍流中，用涡粘性替代Navier–Stokes方程中的粘性，在表面上让人联想到Kadanoff的块自旋图像。然而，湍流的测量不能假定在临界点附近。Navier–Stokes方程的重整化群处理虽然已被提出，但并未解决任何突出的问题。Eyink提供了一个关于块自旋类比的表述。与系统性的“块涡”方法不同，Weizs?cker（CFvW）构建了一个针对小尺度非相互作用块涡的人为几何求和。其论文的一个弱点是，这些几何求和仅仅是为了得到他想要的结果而编造的。然后，通过使用没有从小尺度进行任何推导的涡粘性，他得到了相同的结果。

3 从农庄堂到哥廷根

1946年，在经历了英国农庄堂六个月的拘禁后，Weizs?cker和海森堡都提交了关于湍流的论文，并于1948年发表。两人都声明他们的工作始于在英国（即农庄堂被拘禁期间）的密切合作。由于二战期间国际交流的中断，他们都不知道自己的成果已经被Kolmogorov（1941年）和Onsager（1945年）“抢先发表”。他们在论文中感谢G. I. Taylor告知了他们更早的工作。Onsager在他后来关于统计流体动力学的详细论文中礼貌地指出，“Kolmogoroff的主要结果至少被重新发现了两次”，这或许将海森堡和Weizs?cker的成果算作一次努力。海森堡和Weizs?cker的论文于1946年12月16日从新成立的哥廷根马克斯·普朗克物理研究所提交。

4 Onsager的统计流体动力学与5/3定律

Onsager从流体动力学中的动能耗散率定理开始。他指出，三维对流会倾向于增加涡量。由于涡管的环量守恒，涡量会通过拉伸涡管而增加，这反过来增加了粘性耗散。Onsager引入了宏观尺度L作为速度关联消失的距离。他假设网格湍流近似均匀且各向同性，并通过量纲分析得到耗散ε ~ (v³)/L，其中v是特征速度。对于足够大的雷诺数（Re），比例常数C趋于恒定。Onsager对速度（及隐含的涡量）场进行了傅里叶分析，并通过更大的波数k引入了湍流的更小尺度。为了理解耗散为何与粘性无关，Onsager论证能量（通过涡旋变细和拉伸）的重新分布是一个加速的级联过程。他将耗散表达式重写，并断言第一项中的大部分能量属于量级为1/L的波数，而第二项（剪切率）也主要属于最大尺度。他接着论证级联是几何级数式进行的，波数~1/L将其能量传递给波数~2/L，依此类推。Onsager仅通过几个步骤就从量纲分析直接得到了5/3定律：如果F(k)由耗散率ε决定，那么分布F(k)的形式就由量纲考虑唯一确定。这给出了Kolmogorov的结果：F(k) ∝ ε^2/3k^-5/3。Onsager的论文中没有实空间标度的概念；在他的处理中，L是宏观尺度，大于惯性区的尺度。这是与Weizs?cker以及后来的分形方法的一个主要区别。在Onsager的论文中，没有从大到小涡环级联的图像，只有涡管拉伸和变细的背景思想。

5 高雷诺数下的湍流频谱

5.1 摘要

一个充满各向同性湍流的立方体将级联成连续更小的体积。在惯性区能量传输的稳态导致了以下定律：在尺度L_n上的平均相对速度与L_n^1/3成正比。那么在尺度L_n上的湍流交换就像L_n^4/3，与经验一致。傅里叶分析然后给出能量传输的谱分布为F(k) ∝ k^-5/3。

5.2 引言

各向同性湍流统计理论的最简单版本是泰勒首先研究的情况。人们应该预期，流体各向同性湍流内部状态的统计特征本质上由两个量决定：一个表征湍流元素平均值的长度，和一个表征湍流速度（均方根）平均值的速度。第三个长度可以从粘性起主导作用的小尺度来定义。经验上，各向同性湍流不是由数字而是由关联函数来表征的。数学上与（两点）空间关联函数相连的是湍流中的能量谱分布。我们将尝试从高雷诺数行为推导出这个谱分布，以支持我们关于两个量足以统计表征准稳态下各向同性湍流的论断。

5.3 v. Weizs?cker对5/3定律的推导

Weizs?cker考虑了一个准稳态的不可压缩湍流。他取一个边长为L_o的立方体作为基本体积，并将其系统地划分为越来越小的嵌套立方体，使得L_n= δⁿL_{o，其中δ = 1/r。他让vn来表征第n代划分中的湍流速度，这被理解为在尺度Ln的盒子上的空间平均。他使用了基于Prandtl混合长度的涡粘性，并取混合长度与Ln成正比。量纲上，涡粘性νn∝ vnLn。结合动能耗散的定义εn∝ νn(vn/Ln)²，他得到εn∝ (vn³)/Ln。Weizs?cker指出，这可以直接从量纲分析得出，无需任何关于涡粘性或混合的假设。这里，他假设Dryden为宏观尺度获得的经验结果对于惯性区内的较小尺度也成立。假设从第n代到第n+1代的能量/s完全转移而无损失，则εn是常数，由此可得vn∝ Ln^1/3。}

5.4 推论与谱定律的重述

结合上述结果，速度梯度满足v_n/L_n∝ L_n^-2/3。这可以用来定义能量从一代传递到下一代的时间尺度：t_n∝ (L_n/v_n) ∝ L_n^2/3。这意味着在较小长度尺度上能量转移需要更短的时间（级联是“加速的”）。同时，动能E_n∝ v_n²∝ L_n^2/3。利用k = L^-1并通过傅里叶积分表示所有尺度L < L_n的能量，最终得到主要结果：F(k) ∝ k^-5/3。这个5/3幂律首先由Kolmogorov预测，四年后由Onsager独立地用不那么形式化的方法得出。海森堡也与Weizs?cker同时得出了相同的5/3幂律。

5.5 有效性限制

Weizs?cker认为谱定律对于最大和最小的湍流元素会失效。他重现了泰勒关于大元素的一组方程，并讨论了均匀性。他指出，基于分子粘性的雷诺数满足某个关系，并注明海森堡将在接下来的论文中进一步讨论这一点。

5.6 与经验的比较

当时唯一的实验结果来自风洞（哥廷根的普朗特风洞），并且雷诺数太低，无法进行比较。后记中提到，Tollmien曾告知他们，Richardson早在20多年前就纯粹凭经验发现了4/3定律。

6 向β模型的扩展

湍流中的间歇性意味着涡量的分布是“斑点状”的。均匀性则意味着湍流不是斑点状的。β模型试图引入间歇性，它始于Richardson的涡级串思想。Weizs?cker的量纲分析很容易扩展到β模型，因为后者基于实空间划分的量纲分析。β模型的几何结构如下：从尺度L_o的单个大涡产生的子涡按某种阶数t组织在一棵树上。在β模型中，树的阶数由t = β^-1给出，其中β = 2^-(3-D)，因此预测了一个八阶的不完整树。这里，D是分形维数。能量耗散现在定义为ε_n∝ (v_n³L_n³) / (L_nV_n)，其中V_n= (β L_o³)ⁿ是第n代涡所占据的总体积。假设各代之间能量耗散恒定，则得到v_n∝ L_n^(3-D)/3，并由此预测能量谱：F(k) ∝ k^{-(5/3 + (3-D)/3)}。D=2给出F(k) ∝ k^-1，对应于涡片。较旧的关于低阶速度结构函数的数据表明D≈2.9，因此对指数的反常贡献约为0.07。更新的模拟结果表明D≈3，这将要求模拟的湍流在大雷诺数下是充满空间的，而实验证据曾报告存在片状结构（要求D=2）。

7 局部各向同性的弱检验

Weizs?cker在“充分发展的湍流”中假设了局部均匀性和各向同性。即使是零阶的量纲分析的有效性也需要这些假设。现在回顾当前对这些假设的证据。在射流研究中，既不满足均匀性也不满足各向同性，没有发现满足速度结构函数2/3定律的惯性区。然而，沿轴向方向却满足5/3定律，这尚未被理解。标准的假设长期以来是，对于由网格产生的湍流，下游任何一点的流动都将是近似平稳、均匀和各向同性的。Kolmogorov明确指出，均匀性是局部各向同性的条件；上游不能与下游不同。这是一个非常强且不切实际的假设，因为它显然忽略了尾流（包括网格产生的尾流）的上游-下游不对称性。Kolmogorov用概率分布的平移和旋转不变性精确定义了均匀性和各向同性。但从经验数据中无法确定分布。一个用分布来表述的条件过于强大，无法经验应用。以一个弱条件为例，可以定义一个各向异性指数，例如要求其小于某个规定的精度（如10^-1）。这是对各向同性的一个弱条件。湍流应如何将级联混合成各向同性的混沌，只是被湍流理论的先驱们（泰勒、Dryden、Kolmogorov、Onsager、海森堡和v. Weizs?cker）假设了，但从未定性地解释过。