边界诱导的多稳态现象以及频率切换慢-快系统中的突发振荡

《Chaos, Solitons & Fractals》：Boundary-induced multistability and bursting oscillations in frequency switching slow–fast systems

本研究将频率切换机制与慢-快分析相结合，揭示非光滑系统中切换阈值与初始条件通过多稳结构调控爆发动力学的作用机理。通过修正的 transcritical 分支正常型向量场，证明固定频率子系统仅存在平衡解，但切换交互会诱导非光滑周期轨道，形成包含平衡解与极限环的复杂多稳结构。该双调节机制通过阈值控制吸引子选择与多稳路径的初始条件引导，实现爆发模式多样性与稳定性的动态平衡，为非光滑系统的爆发行为调控提供新理论框架。

　　

Jiahao Zhao|Xiujing Han|Wenjie Zuo|Jiadong Wang|Meng Han

江苏大学土木工程与力学学院，镇江，212013，中华人民共和国

摘要

频率切换机制在工程和科学动态系统中普遍存在，它们引入了非光滑动力学，显著影响了系统行为。本研究将频率切换与非光滑动态系统中的慢-快分析相结合，强调了切换诱导的多稳态在塑造爆发动力学中的作用。通过使用一个受状态依赖频率切换激励影响的超临界分岔的修改后的正规型向量场，我们展示了尽管各个子系统仅表现出平衡解，但它们在切换边界上的相互作用会诱导出非光滑周期轨道。这些极限环与平衡解共存，从而产生了切换诱导的多稳态。这种多稳态控制着频率切换动力学，并通过涉及切换阈值和初始条件的双重调节机制决定了爆发振荡的组织、模式和稳定性：切换阈值驱动分岔演化，以控制切换后的吸引子选择，产生单稳态-单稳态、双稳态-双稳态和双稳态-单稳态的切换序列；同时，初始条件利用多稳态提供了替代的稳定切换路径，从而避免了切换过程中的轨迹发散并稳定了爆发解。我们的发现有助于表征和调节频率切换系统中的爆发动力学。

引言

非自治动态系统在工程[1]、[2]、生物[3]、[4]和物理[5]、[6]领域中广泛存在。在许多实际应用中，状态依赖或自适应频率切换已成为实现对系统状态变化或操作需求进行实时响应的有效手段[7]，支持了从自适应控制[8]、[9]和主动振动抑制[10]、[11]到神经信号处理[12]、天体动力学[13]和空间技术[14]等各种应用。根据系统状态即时切换激励频率，本质上将非光滑特性嵌入到激励本身[15]，从而在系统动力学中引入了各种不连续性[16]、[17]。这些不连续性通常在非光滑动态系统的框架内进行研究[18]，这些系统表现出诸如滑动运动、擦边分岔和边界诱导振荡等内在非线性现象，深刻地塑造了系统响应[19]、[20]、[21]。

除了非光滑效应之外，非自治系统的运行还经常涉及不同时间尺度上变量之间的相互作用[22]、[23]，从而产生了慢-快行为[24]、[25]。一个典型的表现是爆发振荡，其特征是交替的静止状态和尖峰状态，当慢变量通过其分岔结构在慢-快分析框架中调节快子系统时发生[26]、[27]。例如，超临界分岔可能触发两个平衡状态之间的转换，而Hopf分岔通常会产生大振幅的极限环[28]。在许多实际场景中，快子系统表现出多稳态[29]、[30]，共存的稳定吸引子使轨迹能够进入不同的动态区域，从而产生多种爆发模式[31]、[32]。虽然多稳态对爆发的影响机制在平滑系统中已有很好的记录，包括神经电路[33]、气候模型[34]和电子振荡器[35]，但非光滑效应的作用，特别是由频率切换引起的效应，仍然缺乏充分研究，其基本机制尚未阐明。

值得注意的是，最近在修改后的慢-快分析方面的进展将其范围从时间域扩展到了频率域，在这里，由于激励频率与系统自然频率之间的数量级分离而产生了双重时间尺度[36]、[37]、[38]。基于这种扩展，频率切换作为一种状态依赖的非光滑激励，可以通过频率转换慢-快分析[39]来解释，作为具有不同激励频率的广义自治子系统之间的转换[40]，其中切换是由状态依赖的阈值定义的不连续边界引起的[41]、[42]。从这个意义上说，可以在Filippov框架[43]内检查结果的复合动力学。尽管每个具有固定频率的子系统内的动力学可能相对简单，但整个频率切换系统可以表现出由切换边界处的不连续性引起的丰富非线性行为[44]，包括边界诱导的极限环或多稳态结构[45]、[46]、[47]。

这种动力学的代表性例子包括开关模式电源转换器，其中状态依赖的频率切换（例如，在轻负载下进入爆发模式）与来自慢能量存储和快速切换事件的多个时间尺度相结合[48]。类似的相互作用也发生在共振光声气体传感器中，其中自适应频率调整跟踪由于环境变化而发生的共振位移[49]。在这些系统中，状态依赖的切换与慢-快动力学的耦合经常产生复杂的多稳态结构[50]。与仅由初始条件驱动的传统多稳态不同，这里观察到的边界诱导的多稳态是由切换阈值共同调节的，这些阈值从根本上重塑了流域几何形状，以选择活跃的吸引子[51]、[52]。至关重要的是，这些边界诱导的现象、慢-快耦合和状态依赖的激励在塑造爆发模式和稳定性方面的相互作用仍有待系统研究。

在这项研究中，我们将频率切换动力学与非光滑系统中的慢-快耦合相结合，揭示了边界诱导的多稳态如何通过吸引子共存和流域竞争来塑造爆发动力学。为此，我们使用了一个只允许平衡解的超临界分岔的修改后的正规型向量场，在该分岔中，当快变量穿过预定阈值时频率会切换。我们发现，尽管每个具有固定激励频率的子系统仅表现出平衡解，但它们的切换相互作用在复合非光滑快子系统的爆发振荡中诱导出大振幅的尖峰簇。这种机制源于频率切换引起的边界诱导的非光滑极限环。此外，这个极限环与平滑子系统的平衡解共存，形成了由双重调节机制驱动的复杂多稳态结构，这种机制塑造了爆发振荡的组织、模式和稳定性，揭示了频率切换可以通过这种新途径在非光滑动态系统中诱导和调节爆发行为。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了模型，并揭示了频率切换如何诱导出子系统中不存在的非光滑极限环和复杂多稳态。这种多稳态结构为一种新的双重调节机制奠定了基础。第3节研究了这种调节的第一层，解释了切换阈值$a$如何作为控制参数，重塑分岔景观和流域竞争，以主动选择不同的爆发模式。第4节探讨了第二层，重点研究了对于固定的阈值，初始条件如何利用这种多稳态来确保爆发稳定性，通过引导轨迹朝向稳健的切换路径。第5节总结了主要发现，并讨论了它们的意义和未来方向。

章节片段

切换诱导的多稳态

频率切换机制引入了非光滑动力学，即使在各个子系统表现出简单的平衡解时，也能在慢-快系统中产生复杂行为。在本节中，我们探讨了这种切换如何在修改后的超临界分岔模型中诱导出多稳态结构，为后续分析理解爆发动力学奠定了基础。

多稳态和爆发模式

具有频率切换的慢-快系统表现出多样的爆发模式，主要通过两种已知机制由切换阈值调节：(i) 通过改变子区域划分来重塑平滑子系统的分岔结构；以及 (ii) 通过沿切换边界重新分配动态段来修改轨迹-边界相互作用[44]。

与经典多稳态不同，在经典多稳态中，吸引子选择主要由初始条件控制

多稳态和爆发稳定性

系统动力学的稳定性对于可靠运行至关重要，特别是在频率切换系统中，如果切换点位于任何稳定吸引子的流域之外，即使是稳定的爆发解也可能发散[56]、[58]。

虽然第3节揭示了多稳态如何控制吸引子选择和爆发模式，但其重新定义切换路径的影响仍缺乏研究。特别是对于$a=0.82$和$a=0.97$，

结论与讨论

在这项研究中，我们使用了一个修改后的超临界分岔的正规型向量场，探讨了频率切换机制与非光滑系统中的慢-快动力学之间的相互作用。我们揭示了状态依赖的频率切换即使在所有平滑子系统都只允许平衡解的情况下，也能产生边界诱导的极限环和丰富的多稳态。这些切换诱导的多稳态结构构成了阈值-初始条件双重调节机制的基础

CRediT作者贡献声明

Jiahao Zhao：撰写——原始草稿，可视化，方法论。Xiujing Han：撰写——审稿与编辑，项目管理，资金获取。Wenjie Zuo：研究，概念化。Jiadong Wang：监督，形式分析。Meng Han：验证，软件。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到了国家自然科学基金（授权号：12272150）的支持。