关于测度的立方体饱和定理及其应用

《Ergodic Theory and Dynamical Systems》：A saturated theorem along cubes for a measure and applications

本文证明极小系统$(X,T)$在极大无穷步投影 nil因子$X_\infty$下，立方体沿饱和点的集合具有满测度。应用表明，若系统不存在非平凡$(k+1)$元组且具有任意长有限IP独立集，则其各态历经测度不超过$k$，且为$k'\leqslant k$的扩展。特别地，当$k=1$时，系统是唯一各态历经的，解决了Dong等人提出的猜想。

　　

摘要

我们证明，对于一个最小系统$(X,T)$，沿着立方体的饱和点集合（相对于其最大的$\infty$-步pro-nil因子$X_\infty$）具有满测度。作为一个应用实例，如果一个最小系统$(X,T)$没有非平凡的$(k+1)$元组，这些元组的有限IP-独立集长度任意长，那么它最多只有$k$个遍历测度，并且几乎必然存在一个扩展$X_\infty$的映射，对于某些$k'\leqslant k$。特别地，当$k=1$时，我们证明了$(X,T)$是唯一遍历的（甚至相对于$X_\infty$也是规则的），这回答了Dong等人提出的一个猜想[《无限步nil系统、独立性与复杂性。Ergod. Th. & Dynam. Sys.》33(1) (2013), 118–143]。

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