利用图神经网络的概率图模型进行离散结构部件状态的贝叶斯反演

《Reliability Engineering & System Safety》：Probabilistic Graphical Model using Graph Neural Networks for Bayesian Inversion of Discrete Structural Component States

结构健康监测中的贝叶斯反演方法及图神经网络应用研究。针对传统方法难以处理高维参数和复杂依赖的问题，提出基于概率图模型（PGMs）的贝叶斯反演框架，利用GNN实现高效推断，结合合成与实验数据验证了方法在离散状态（如完好/损伤）推断中的有效性，解决了传统贝叶斯方法建模困难及计算成本高的问题。

　　

滕莉 | 史蒂芬·吴 | 黄勇 | 詹姆斯·L·贝克 | 李辉

工业和信息化部智能预防与减轻土木工程灾害重点实验室，哈尔滨工业大学，哈尔滨 150090，中国

引言

土木基础设施是由众多相互依赖的结构组件组成的复杂系统，这些组件的运行状态显著影响整个系统的性能。材料退化、累积损伤和潜在缺陷等因素可能对结构组件产生不利影响，导致其在整个使用寿命期间逐渐恶化。随着结构服务性能的下降，其健康状况可以用不同的离散状态来描述（例如，完好无损和受损，或更多类别）。这不仅简化了健康状况的表示，还为工程决策提供了关键支持。通过可测量的系统响应推断关键组件的这些离散状态对于制定有针对性的维护策略以及确保结构的安全性和可靠性至关重要[1,2]。

在过去的几十年中，已经开发了许多方法来评估结构及其组件的健康状况[[3], [4], [5]]，例如基于结构动态特性的方法（例如，自然频率和模态形状）[6,7]、基于有限元模型更新的方法[8]以及基于神经网络的方法[9,10]。其中一些技术通过将动态或物理参数与已建立的健康基准进行比较来评估结构状态，而其他方法则通过从监测数据中提取特征来确定结构损伤的严重程度并据此确定状态。然而，许多当前的研究都局限于确定性框架，这些框架无法充分考虑环境变化、模型不确定性和数据不完整性等关键影响因素。本质上，工程应用中的反问题是不适定的和病态的[11]，因为有限且噪声较大的观测数据使得难以确定性地识别模型参数。在这种情况下，贝叶斯方法提供了一个严格的框架，通过结合先验知识与监测数据来约束解空间，同时有效量化估计参数的不确定性[[12], [13], [14]]。从贝叶斯推断中获得的后验概率也可以指导工程应用中的决策[15]。此外，贝叶斯方法通过其概率框架自然地模拟了模型参数之间的相关性，这可以充分考虑结构组件之间的依赖性。

近年来，已经提出了一些基于贝叶斯框架的方法来评估结构健康状况[11,12,[16], [17], [18], [19]]。例如，贾等人基于贝叶斯推断框架提取了关于结构蠕变、刚度和预应力的详细信息以评估结构异常[17]；黄等人采用了一种分层稀疏贝叶斯学习方法来计算刚度参数的后验概率密度函数（PDF）并估计结构损伤的概率[13]。这种类型的方法涉及推断相关模型参数的后验PDF，在推断过程中需要制定似然函数并计算边际似然。通常，当目标是推断结构物理参数（例如刚度）时，由于结构动力学方程定义的确定性关系，结构监测响应与参数之间的似然函数可以明确表达。然而，当目标转变为推断结构组件的状态时，需要推断的变量将从连续模型参数变为离散状态。这种转变由于缺乏直接将监测响应与组件状态相关联的明确定义的机械原理，使得似然函数的构建变得复杂[20]。此外，土木结构通常包含许多相互依赖的组件，这创建了一个高维参数空间，需要昂贵的计算才能获得边际似然[12]。同时，建模结构组件之间的依赖性可能更具挑战性，因为常用的协方差在捕捉离散状态变量之间的复杂相关模式方面能力较弱，与连续模型参数相比。这种现象源于其数学本质的不匹配。协方差主要用于测量线性和平滑的协变趋势，而涉及离散状态的复杂关系通常更为复杂和非线性[21,22]。这些困难限制了贝叶斯方法在推断离散组件状态中的应用。

为了解决这些问题，本研究提出了一种使用PGMs（概率图模型）进行贝叶斯反演的新范式[23]。该框架强大的表达能力使其适合应对上述挑战。通过势函数定义局部相互作用，可以建模组件状态之间的依赖性以及组件状态与系统响应之间的关系。然后使用结构的结构拓扑先验和监测数据来学习该模型。此外，可以通过PGM推断来估计后验PDF，这消除了对解析似然函数的需求，并避免了边际似然的计算。现有研究已经展示了PGMs在工程应用中的一些优势，贝叶斯网络被用于基于风险的决策和状况评估应用[24,25]，无向图模型被用于实现结构损伤检测[26]。这些研究证明了PGMs的强大能力，表明在它们的应用中仍有探索的空间。

然而，实施PGM框架也面临一些挑战。传统的推断算法，如变量消除（VE）、信念传播（BP）[27]和MCMC[21]存在各种限制。模型参数数量的增加将导致这些算法的准确性和效率显著下降。尽管已经利用信息传播机制[28,29]开发了基于神经网络的推断方法，如图神经网络（GNNs）和消息传递神经网络（MPNNs）[30,31]，但在实际应用中的一个关键挑战是，训练GNN以推断高维模型在计算上非常昂贵，因为数据采集和网络优化都需要与模型大小成比例的大量资源[32]。这一限制促使人们在GNN架构中开发了尺寸泛化能力——这是一种关键的创新，能够在保持推断准确性的同时实现从简单模型到大规模模型的有效知识转移。最近在GNN泛化方面的研究主要集中在分布内（ID）泛化场景[33,34]，其中训练和测试数据具有相同的统计分布。然而，这种理想化的假设在现实世界应用中往往不成立，因为存在分布偏移。虽然新兴研究已经开始解决更复杂的挑战，如分布外（OOD）泛化和尺寸泛化[35,36]，但该领域仍然缺乏一个能够严格描述GNNs泛化边界的统一理论框架。因此，这一领域仍需要进一步的研究。

在这项研究中，我们提出了一种基于PGMs的离散状态结构组件贝叶斯反演的新范式，并通过基于GNN的算法获得贝叶斯推断的边际后验PDF。该框架使用马尔可夫网络来建模离散组件状态之间的依赖性，参数通过监测数据和结构拓扑先验进行学习。在这种模型上进行推断已被证明可以产生与贝叶斯推断得出的后验PDF相同的组件状态概率估计。这种改进有效地避免了建立解析似然函数和计算高维边际似然的挑战。此外，本研究还探讨了图属性如何影响GNNs的尺寸泛化性能，并开发了一种训练策略，使GNN能够在计算开销较低的情况下对高维问题进行准确推断。对于工程应用中遇到的复杂结构场景，这种方法确保了足够的计算准确性和效率，因此具有重要意义。最后，使用合成数据和实验数据来验证所提出框架的性能。

本文的组织结构如下。第2节，我们展示了离散组件状态的贝叶斯反演及其挑战，然后说明了如何使用PGMs来处理这些问题。还描述了模型学习方法。第3节介绍了GNNs的理论基础以及如何使用GNNs进行图模型推断。第4节提出了一些合成实验，以研究GNNs的尺寸泛化能力。该节进一步提供了基于GNN的算法与传统算法之间的计算效率和推断准确性的比较分析。最后，第5节在桁架结构上验证了该框架，结果证明了所提出方法的有效性。

节选内容

离散组件状态的贝叶斯反演及其挑战

这里我们使用向量来表示由多个结构组件状态组成的状态参数，其中每个${\theta }_i$在$\theta$中被定义为表示两种可能状态（完好无损和受损）的二元变量。离散组件状态的贝叶斯反演的目标是根据可测量的结构响应$D$来估计每种状态之间的相对可能性。根据贝叶斯定理，可以获得组件状态的后验PDF：$p($

适用于PGM推断的尺寸泛化GNN

一种直接的PGM推断算法是变量消除，它将非目标变量的所有可能值代入联合分布中并求和。然而，当图模型较大（即具有高维参数的多个组件问题）时，这种方法难以实现[21]。近似推断算法，如信念传播（BP）和马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC），通常更为实用

合成数据研究

在实际工程应用中，工程结构的图模型通常是高维的，因为大多数结构通常由多个组件组成。在相同大小的模型上训练GNN会导致标签获取成本很高。为了解决这个问题，我们打算在较小的图模型上训练GNN，并将其泛化到更大的模型上。本节讨论了几种图属性如何影响GNN的尺寸泛化性能

实验：推断合成桁架结构的离散状态

在这部分中，我们基于一个由160根环形截面的杆组成的桁架桥进行了一些实验来验证所提出的方法。该结构的纵向长度为5.5118米，每根杆的横截面积为0.3937米。横向长度也为0.3937米，垂直高度为0.40米。所有元素都具有相同的环形截面，外径和内径分别为0.01554米和0.01087米。用于构建该结构的材料具有特定的杨氏模量

结论

本研究提出了一种基于PGMs的离散结构组件状态的贝叶斯反演方法。与用于连续参数变量的一般贝叶斯反演框架相比，该方法推断离散状态变量，并利用PGMs来应对相关挑战。通过将联合分布分解为势函数的乘积，PGMs可以系统地编码结构组件状态之间的依赖性以及组件状态之间的关系

CRediT作者贡献声明

滕莉：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。史蒂芬·吴：撰写——审阅与编辑、验证、方法论。黄勇：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源管理、项目管理、调查、资金获取、数据管理、概念化。詹姆斯·L·贝克：撰写——审阅与编辑、验证、方法论。李辉：监督、概念化。