一种能量稳定的数值方案及其在Oldroyd-B粘弹性流动问题上的理论分析

《Mathematics and Computers in Simulation》：An energy stable numerical scheme and its theoretical analysis for Oldroyd-B viscoelastic flow problem

针对Oldroyd-B模型提出LCR-DEVSS-G离散方案，通过有限元素法和隐式欧拉格式实现无条件能量稳定性，证明解的存在唯一性及最优误差估计，并验证Poiseuille流和腔体流动等数值实验。

　　

胡晓琳|高普阳|涂长宇

长安大学理学院，中国西安710064

摘要

在本文中，我们对Oldroyd-B粘弹性流体流动问题的稳定数值方案LCR-DEVSS-G进行了全面的理论分析。该方案结合了Oldroyd-B模型的对数构象表示（LCR）和离散弹性-粘性分裂应力梯度（DEVSS-G）方法，在完全离散层面上建立了无条件能量稳定性。通过能量估计和Brouwer不动点定理，我们证明了该方案数值解的存在性和唯一性，以及其最优误差估计。最后，我们通过数值实验（如Poiseuille流动和盖驱动腔实验）来验证所提出方案的有效性，并对理论分析进行验证。

引言

粘弹性流体主要由溶剂和聚合物组成，聚合物赋予流体储存和恢复剪切能量的能力，从而使流体具有弹性特性[1]。这些流体与牛顿流体不同，表现出复杂的应力-应变关系。其剪切应力和剪切率之间存在非线性关系，无法用简单的线性方程描述[2]。粘弹性流体在自然和工业生产中有着广泛的应用，常见于油漆、塑料、食品、熔融塑料、生物流体（如细胞质或粘液）等。由于这些流体的广泛应用，从物理学到数学等多个学科都对其进行了研究[1]。

Oldroyd-B模型是流体力学中用于描述粘弹性流体行为的一个重要非牛顿模型[3]。有关该模型的更多物理背景信息，请参考[4]。在过去的几十年中，对Oldroyd-B模型进行了大量研究。关于该模型的精确解，Lin等人[5]进行了研究，详细内容可参考参考文献[6]。Boyaval等人[7]、[8]证明Oldroyd-B模型是一个耗散模型，即自由能随时间减少。一般来说，方程的非线性和强耦合性质使得即使存在解析解也难以获得。因此，研究数值解变得尤为重要。

在以往的研究中，解决该模型的数值算法方面取得了显著进展。然而，在模拟复杂流体时，仍然存在高Weissenberg数问题、应力边界层、数值不稳定性和计算精度与效率等挑战[9]。因此，研究人员提出了各种稳定化方法，包括离散Galerkin（DG）方法[10]、流线迎风Petrov Galerkin（SUPG）方法[11]和平方根构象重构（SRCR）方法[12]。Fattal和Kupferman[13]提出的对数构象表示（LCR）是一种广泛使用的方法。基于这一想法，Balci等人[12]开发了SRCR方法，通过对方向构象张量应用平方根变换来提高数值稳定性。King和Lind[14]将对数构象公式与弹性粘性分裂应力（EVSS）技术结合，提出了用于粘弹性流动的二维不可压缩SPH算法。Jaensson和Hulsen[15]提出了一种基于逆变形张量的新数值方法，并结合了稳定化方法。Doherty等人[16]将LCR与投影方法结合，用于解决粘弹性流体流动问题。Pan等人[17]提出了一种基于对数构象的扩散Oldroyd-B电液动力模型的新时间推进方案，等等。这些稳定化方法提供了多种优势，并在很大程度上减轻了数值不稳定性。

关于牛顿流体的数值方案的理论分析，Chen等人[18]、[19]专门提出并分析了一种适用于CHHS系统的完全离散有限差分方案。Liu等人[20]将分析扩展到混合有限元方法，实现了不受时间步长限制的最优误差估计。对于更复杂的CHMHD系统，Wang等人[21]提出了改进的Crank–Nicolson型有限元方案，证明了质量守恒、能量稳定性和误差估计。关于奇异对数势，Chen等人[22]、[23]设计了有限差分方案，并确立了其正性保持性质、唯一可解性和能量稳定性。对于非牛顿流体，Yang等人[24]和Duan等人[25]对Kelvin–Voigt模型的数值方案进行了理论分析。关于Oldroyd-B流体，Nikan等人[26]提出了用于广义Oldroyd-B流体中Rayleigh-Stokes问题的RBF-FD方法，并进行了稳定性和收敛性分析。Avazzadeh等人[27]引入了一种无网格混合核方法来模拟粘弹性流体中的分数Rayleigh-Stokes问题及其边界效应，并讨论了半离散方案的收敛性和稳定性。同时，Nikan等人[28]提出了一种用于求解Sobolev模型的LRBF-PUM-FD方法，并使用能量方法对其稳定性和收敛性进行了理论分析。然而，对Oldroyd-B模型的理论分析仍然很少。

因此，本文旨在为Oldroyd-B模型开发一种无条件能量稳定的LCR-DEVSS-G离散方案，并提供理论分析。该方案采用有限元方法进行空间离散化，隐式Euler方案进行时间离散化，证明了其无条件能量稳定性以及解的存在性和唯一性。此外，还给出了该方案的最优误差估计。最后，通过盖驱动腔流动等数值示例展示了该数值方案的有效性和理论结果。该方案的关键区别在于它将LCR与DEVSS-G方法相结合。虽然EVSS和DEVSS-G主要解决稳定性问题，SUPG则解决对流不稳定性问题，但LCR-DEVSS-G框架通过LCR确保了构象张量的对称正定性，并通过DEVSS-G稳定化同时增强了数值鲁棒性，从而在流动模拟中本质上保持了比单独使用这些经典方法更好的稳定性。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍所需的模型和稳定机制，并介绍LCR-DEVSS-G离散化方法。第3节建立离散解的局部存在性并证明无条件能量稳定性。第4节证明全局存在性和唯一性，并推导出最优误差估计。第5节提供了一些数值示例。第6节总结本文。

节选内容

数学模型和数值算法

本节主要介绍本文中使用的Oldroyd-B模型和稳定机制，最后介绍了LCR-DEVSS-G公式及其离散形式。为简化表示，文中常数用$C_i(i=0,1,2?)$

LCR-DEVSS-G离散方案的稳定性分析

本节将主要利用参考文献[8]中的研究方法来证明LCR-DEVSS-G完全离散格式的无条件能量稳定性。首先，将介绍离散方案（2.11）-（2.13）的局部解的存在性。然后，将对离散系统进行能量分析。最后，将这些离散方案的局部解扩展到全局解，并证明其唯一性。

完全离散格式中全局解的存在性和唯一性

第3.1节证明了离散格式（2.11）-（2.13）的局部解的存在性和唯一性。以下将这种唯一的局部解扩展到全局域。

定理3

对于任何初始条件和任何$\Delta t0$，存在唯一的解$(u_h^0,p_h^0,{\psi }_h^0)$对于LCR-DEVSS-G的离散方案（2.11）-（2.13）。

证明：首先，推广定理1并证明所有迭代和离散格式的解的局部存在性。根据定理1，如果

数值实验

在本节中，我们将使用一些数值示例来验证理论分析的准确性。第5.1节中的示例是一个具有精确解的平面Poiseuille流动稳态问题，用于检查收敛性，并与其他方法进行比较。结果表明，该方案对光滑解实现了最优收敛。第5.2节测试了著名的盖驱动腔基准示例，并将结果与现有方法进行了比较

总结

本文基于LCR方法。首先，建立了一种适用于粘弹性Oldroyd-B模型的数值方案，即LCR-DEVSS-G方案。该方案的构建结合了LCR方法和DEVSS-G方法的优点。接下来，提供了对该方案的相对完整的理论分析。也就是说，通过严格的理论推导，我们对该方案进行了全面的能量估计，分析了其无条件稳定性

CRediT作者贡献声明

高普阳：写作——审稿与编辑，监督，资金获取，概念化。涂长宇：软件，监督，写作——审稿与编辑。胡晓琳：写作——原始草案，软件，方法论，概念化。

致谢

我们感谢中国国家自然科学基金（项目编号11901051）、陕西省数学与物理基础科学研究项目（项目编号23JSQ040）、陕西省自然科学基础研究计划（项目编号2025JC-YBMS-029、2025JC-YBQN-069）以及中国国家自然科学基金数学天元基金-天元数学西北中心项目的支持。作者们对此表示最诚挚的感谢