可扩展的、基于物理知识的深度生成模型，用于求解正向和反向随机微分方程

提出一种可扩展的物理信息深度生成模型sPI-GeM，通过结合物理信息基网络（PI-BasisNet）和生成模型，解决高维随机（>50）与空间（20）耦合的随机微分方程（SDE）前向与反问题。模型采用基函数学习与分布生成双阶段架构，显著降低维度依赖性，数值实验验证其在复杂高维场景下的有效性。

　　

周少倩|游文|郭玲|孟旭辉

华中科技大学数学与统计学院数学与应用科学跨学科研究研究所，武汉，430074，中国

摘要

基于物理信息的深度学习方法已被开发出来，用于解决高维随机空间中的正向和反向随机微分方程（SDE）问题。然而，现有的深度学习模型在处理高维空间SDE时存在困难。在本文中，我们提出了一种可扩展的基于物理信息的深度生成模型（sPI-GeM），该模型能够解决具有高维随机性和空间性的SDE问题。sPI-GeM由两个深度学习模型组成：（1）基于物理信息的基网络（PI-BasisNet），用于在给定随机过程或随机场的数据下学习基函数和系数；（2）基于物理信息的深度生成模型（PI-GeM），用于学习从PI-BasisNet获得的系数分布。然后可以通过生成器的输出与训练有素的PI-BasisNet中的基函数之间的内积来获得新样本。sPI-GeM以类似于广泛使用的降维技术（即主成分分析（PCA）的方式解决了空间空间的可扩展性问题。通过一系列数值实验，包括高斯和非高斯随机过程、正向和反向SDE问题的模拟，证明了所提出模型的准确性。此外，我们还通过一个同时具有高维随机性和空间性的正向SDE问题的例子展示了sPI-GeM的可扩展性。

引言

随机微分方程（SDE）涉及不确定的系数和/或随机强迫项/边界/初始条件，这导致求解结果的不确定性（Bj?rk等人，2004年；Braumann，2019年；Patil, Babaee，2020年；Patil, Babaee，2023年；Psaros等人，2023年；Wang等人，2024年；Yang等人，2012年）。为了量化SDE中的不确定性，已经开发了多种数值方法。具体来说，蒙特卡洛（MC）方法和广义多项式混沌（gPC）是现有的数值求解器中最受欢迎的方法之一。正如Zhong和Meidani（2023年）指出的，前者具有鲁棒性和直接性，但通常计算成本较高。此外，后者计算效率更高，但受到“维数灾难”（CoD）的影响。

最近，深度学习在解决正向和反向偏微分方程（PDE）方面取得了显著进展（Fu等人，2024年；Raissi等人，2019年；Sirignano和Spiliopoulos，2018年；Yu等人，2018年），特别是对于高维PDE（Guo等人，2022a年；Han等人，2018年；Hu, Shukla, Karniadakis, Kawaguchi，2024a年；Hu, Zhang, Karniadakis, & Kawaguchi；Mao和Meng，2023年；Zang等人，2020年），因为深度神经网络（DNN）能够打破“维数灾难”。特别是基于物理信息的神经网络（PINNs）（Mao和Meng，2023年；Raissi等人，2019年；Xiang等人，2025年；Zou等人，2025年）是解决PDE最常用的深度学习方法之一，因为它们既有效又易于实现。具体来说，PINNs使用DNN来近似给定PDE的解，然后利用自动微分将相应的PDE编码到DNN中。对于确定性PDE，我们可以通过最小化方程残差的均方误差（MSE）以及PINN预测与观测数据之间的不匹配来训练PINNs。除了确定性PDE之外，还提出了PINNs的变体来解决SDE（Psaros等人，2023年；Zou等人，2024年）。例如，Zhang等人提出将PINNs与任意多项式混沌（NN-aPC）结合起来解决正向和反向SDE问题（Zhang等人，2019年）。尽管有效，但NN-aPC在处理高维问题时仍然具有挑战性，因为多项式混沌项的数量随着维数的增加而呈指数级增长（Guo等人，2022b年）。受到深度生成模型处理高维数据能力的启发，已经开发了许多基于物理信息的深度生成模型（PI-GeMs）来解决高维SDE，例如基于物理信息的生成对抗网络（PI-GANs）（Yang等人，2020年；Yang和Perdikaris，2019年），基于物理信息的变分自编码器（PI-VAE）（Shin和Choi，2023年；Zhong和Meidani，2023年）以及基于物理信息的归一化流（Guo等人，2022b年）等。Yang等人（2020年）报告了在100个随机维度上的SDE的数值结果，这对传统数值方法来说是非常具有挑战性的。

尽管使用PI-GeMs在随机域中解决高维SDE方面取得了显著进展，但大多数现有模型在扩展到具有高维物理空间的SDE问题（例如空间或时空空间等）时存在困难。据我们所知，使用深度学习的现有工作中尚未报告超过二维空间维度的SDE问题（Shin和Choi，2023年；Yang等人，2020年；Zhong和Meidani，2023年）。一般来说，深度生成模型旨在根据经验样本近似未知分布。为了使用深度生成模型近似随机过程，常用的方法是用离散点的数量表示目标随机过程中的每个样本。然后可以将目标随机过程视为具有与用于解决每个样本的点数相同维度的未知分布。在训练深度生成模型时，我们可以最小化某种能够衡量生成过程与目标随机过程之间差异的度量，例如Zhong和Meidani（2023年）中的最大均值差异（MMD），Guo等人（2022b）中的Kullback–Leibler（KL）散度，以及Yang等人（2020年）中的Wasserstein-1距离。此外，该度量是基于生成的样本和观测样本经验估计的。对于超过二维空间的问题，需要数千个点来准确解决每个样本，从而导致度量估计的计算成本过高。换句话说，上述模型在处理具有高维空间域的SDE时具有挑战性。

请注意，在几个实际应用中自然会出现定义在高维物理空间上的随机过程或SDE。例如，薛定谔方程的物理维度随3N变化，其中N表示粒子数，它被广泛用于模拟有序固体中的粒子动力学。然而，在无序固体中，通常使用包含随机势的随机薛定谔算子来更准确地描述粒子动力学（Anderson等人，1958年；Denisov和Kiselev，2005年；Kirsch，2007年）。这导致了在高维物理域上提出的SDE。最近，人们还对通过解决具有微/纳米尺度热传导不确定性的逆声子玻尔兹曼传输方程来推断固体的热导率感兴趣（Li等人，2025年）。这种方法需要为能量密度函数分配一个具有7个物理维度（即1个时间维度和3个空间维度）的随机过程作为先验。因此，仍然需要能够在随机和物理维度上都可扩展的SDE数值求解器，因为如前所述，现有方法在处理高维空间域的问题时遇到困难。

本工作的主要贡献如下：（1）我们开发了一种可扩展的基于物理信息的深度生成模型（sPI-GeM），能够高效解决正向和反向SDE问题，并且能够处理随机和空间域中的高维问题。（2）我们对具有高维随机空间（>50维）和空间空间（20维）的正向/反向SDE问题进行了数值实验。特别是，据我们所知，目前的研究中尚未报道具有20维空间空间的SDE问题。

本文的其余部分组织如下：第2节中，我们介绍了问题的表述以及用于解决随机微分方程的可扩展基于物理信息的深度生成模型；第3节展示了数值结果，第4节对这项研究进行了总结。

问题表述

问题表述

考虑一个用于描述物理系统动力学的通用稳态随机微分方程（SDE）如下：