“硬基体中的软质夹杂物”是一个非线性不均匀夹杂问题，定义如下：在无限线性弹性空间中，给定区域（称为软质夹杂物）具有与周围线性基体（称为硬质基体）不同的非线性弹性特性。我们感兴趣的是由该区域内规定的大变形应变或外部施加的应力产生的区域内外的弹性场。硬基体中的软质夹杂物（图1）在天然和工程材料中都很常见，通常会显著影响其整体机械响应、失效机制以及功能性能。这种“软-硬”（SIH）系统出现在各种领域。在非晶固体中[1]、[2]，局部软化区域常作为剪切带的成核点，并可以在力学分析中视为点夹杂物。在骨组织中[3]、[4]，哈弗斯管可以被视为高度矿化的基体中的软质夹杂物。在电池的固体陶瓷电解质中[5]、[6]，锂金属沉积形成局部软质区域，影响电化学性能和安全性。在自修复复合材料中[7]、[8]，嵌入的修复胶囊能够实现微裂纹的原位修复，而在电子封装中，软质夹杂物有助于提高韧性和可靠性[9]。这些不同的例子突显了推进SIH系统机械行为理解的共同和迫切需求，从而指导更高效和安全的材料和结构设计。
在非常规能源开发领域，页岩气由于其丰富的储量和商业潜力而受到广泛关注[10]、[11]、[12]。页岩构造通常含有大量有机物质（干酪素），是SIH问题的一个典型例子[10]。干酪素表现出明显的超弹性，其弹性模量远低于周围的无机基体，导致显著的机械异质性[13]、[14]、[15]。这种异质性可以产生复杂的耦合变形现象，影响碳氢化合物迁移、裂纹起始和储层压实等过程。最近的研究在非常规能源开发领域发展了复杂的力学理论，提供了对这些耦合变形机制的更深入见解[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。传统的线性弹性夹杂物模型难以捕捉这些复杂性，因此无法准确预测页岩气开采过程中的岩石断裂、储层变形和结构完整性。
本研究的核心目标是解决在较硬基体内发生大变形（几何非线性）的任意形状、物理非线性软质夹杂问题，而无需进行成本高昂的详细模拟。
线性弹性夹杂物理论的研究可以追溯到[22]关于裂纹尖端附近应力分布的工作。随后，[23]、[24]、[25]为热弹性应力分析和点力解奠定了基础，为夹杂物力学提供了早期基础。[26]、[27]、[28]发展了等效夹杂物方法（EIM）并引入了著名的Eshelby张量，严格证明了椭球形夹杂物内的内部应变场是均匀的。这些成就为研究椭球形夹杂物的内部和外部应力场提供了系统的方法，并形成了现代夹杂物理论的基础。[29]、[30]随后分别提出了自洽方法和平均场方法，用于研究复合弹性特性。在21世纪初，通过格林函数方法或其他方法[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]、[43]，Eshelby的理论被扩展到适用于任意夹杂物形状和各向异性材料。此外，[44]基于虚功方法提出了等效应变原理，为非椭球形和多不均匀夹杂物以及残余应变问题提供了强大的框架[45]、[46]、[47]、[48]、[49]、[50]、[51]、[52]、[53]、[54]、[55]、[56]。这些努力共同塑造了经典夹杂物理论的格局，使其成为从基础研究到工程实践的重要力学分支[57]、[58]、[59]、[60]、[61]、[62]、[63]。
然而，上述方法主要依赖于叠加原理，限制了它们对经历小变形的线性弹性材料的适用性。当夹杂物表现出明显的超弹性或经历显著几何变形时，这些假设就不再成立。为了解决这一限制，[64]提出了一种基于黎曼几何的几何映射方法的替代框架，为非线性夹杂物力学提供了优雅且数学上严谨的处理方法。虽然这种几何视角为复杂非线性现象提供了宝贵的理论见解，但也可以探索其他公式以满足大规模工程应用中的实际计算需求（参见例如[65]、[66]、[67]、[68]、[69]、[70]、[71]、[72]、[73]、[74]）。
传统线性夹杂物理论无法充分处理SIH系统的原因主要有两个。首先，软质夹杂物的非线性本构关系使得线性叠加原理失效。其次，大变形引入了几何非线性，夹杂物边界和周围基体的连续形状变化违背了经典理论中使用的固定配置框架。此外，实际工程应用通常涉及具有复杂几何形状、多种外部载荷和内在应变的夹杂物，所有这些都会产生超出线性小变形假设范围的强烈耦合效应。因此，现有方法无法为这些具有挑战性的场景提供准确的高保真度解决方案。特别是，目前缺乏对嵌入线性弹性基体中的非线性弹性夹杂物的通用解析解。总体而言，关于硬基体内软质夹杂物非线性力学的研究仍处于初级阶段；很少有工作超越初步尝试，且缺乏系统、易于实施的方法。主要困难可以总结如下：
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材料非线性：超弹性或弹塑性行为要求应力-应变关系随变形而变化，从而使得线性叠加失效。
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几何非线性：假设固定参考域的传统方法无法适应大的形状变化，需要不断更新参考配置和边界条件。
这些障碍迄今阻碍了开发一种通用、用户友好的非线性夹杂物理论，该理论能够有效平衡理论严谨性和计算效率。为了解决这一差距，本研究提出了一种分段线性化方法，将经典的等效应变原理扩展到处理材料和几何非线性。具体来说，总变形过程被划分为多个增量，每个增量都被近似为线性。在每个增量步骤中，采用线性化应变策略，保持了经典线性夹杂物方法的高计算效率。通过逐步更新参考配置来考虑大变形，同时在每个增量中一致地重新评估材料非线性。通过系统地整合这些增量解，所提出的方法有效地捕捉了复杂的机械行为，同时不牺牲计算实用性。此外，在适当的假设下，本研究提供了确保解的唯一性和一致性的条件以及相应的证明，从而建立了严谨的理论基础。尽管主要是由页岩干酪素夹杂物等SIH力学问题激发的，但所提出的框架具有广泛的适用性，包括预测含干酪素页岩中的应力重分布、指导复合材料设计以提高韧性，以及分析骨组织、自修复复合材料等应用。因此，本研究将经典夹杂物理论与非线性大变形问题的实际需求联系起来，提供了适用于能源工程、生物医学应用和材料科学等不同领域的强大理论和计算工具。
本研究的结构如下：第2节回顾了连续介质力学和夹杂物力学的基本原理。第3节开发了一种超弹性本构模型的局部线性化方法，通过使用变形梯度代替应变来扩展等效应变原理，从而形成了一个全面的分段线性框架，用于处理非线性夹杂物问题。第4节详细介绍了所提出框架的实现，并通过两个非线性夹杂物问题的数值示例展示了其应用。最后，第5节提出了本研究的结论。
