仅输出模态分析的主成分随机子空间识别方法

《Mechanical Systems and Signal Processing》：Principal component stochastic subspace identification for output-only modal analysis

随机子空间法模态参数辨识研究显示，SSI-Cov与SSI-Data在无限数据及非平稳白噪声条件下理论等价。基于主成分分析改进的PCSSI方法通过投影信号子空间显著提升噪声抑制与数值稳定性，5000次蒙特卡洛模拟及缩比桥梁实验验证表明，PCSSI在有限数据场景下参数方差降低40%-60%，虚假频率识别减少75%，特别适用于高噪声及数据稀缺工程检测。

　　

陈碧琪|张俊|王颖

哈尔滨工业大学智能土木与海洋工程学院，中国广东省深圳市桃源街道518055

摘要

随机子空间识别（SSI）在工程结构的模态分析中得到广泛应用，以其数值稳定性和高模态参数识别精度而著称。SSI方法通常分为两类：数据驱动型（SSI-Data）和协方差驱动型（SSI-Cov），这两种方法被认为基于不同的理论基础和计算原理。相比之下，本研究基于已建立的基于工具变量的随机子空间框架，证明了在理想条件下（无限数据、非平稳白噪声和系统遍历性），SSI-Cov和SSI-Data在理论上会收敛到相同的解。此外，本文还提出了一种新的模态识别方法——主成分随机子空间识别（PCSSI）。该方法利用主成分分析（PCA）提取信号子空间的关键成分，并将观测数据投影到该空间上，从而提高了模态识别的稳定性，同时显著降低了计算复杂度。通过5000次蒙特卡洛数值模拟，统计分析表明PCSSI在数值稳定性和噪声降低方面均优于传统的SSI方法，明显优于SSI-Cov和SSI-Data。其有效性通过一个缩比桥梁模型的实验数据得到了验证。与传统的SSI方法相比，PCSSI在复杂的工程条件下表现出更强的鲁棒性，尤其是在数据有限或噪声水平较高的情况下，这突显了其在实际应用中的巨大潜力。PCSSI的开源MATLAB实现可在GitHub上找到。

引言

结构健康监测（SHM）通过分析响应数据来评估土木工程结构的状况，以识别局部和全局的结构状态[1]。核心挑战在于建立这些观测响应与控制结构动态行为的固有物理参数（如刚度、质量和阻尼）之间的可靠关系。准确估计这些参数是一个复杂的逆问题，环境变化、传感器布置稀疏以及外部激励的不确定性进一步增加了难度[2]。

模态参数（包括自然频率、阻尼比和模态形状）为表征结构的动态行为提供了有效且实用的方法[3]。在过去几十年中，它们被广泛应用于系统识别框架中，以评估结构状况和检测早期损伤——尤其是在桥梁工程中。在各种模态分析算法中，操作模态分析（OMA）已成为一个广泛研究的方向，包括一系列旨在在环境或操作激励下识别模态参数的方法。当施加受控激励不切实际或成本过高时，OMA特别具有吸引力[4]，[5]。

一般来说，OMA技术可以分为两大类：频域方法和时域方法[5]。频域方法（如峰值提取[6]和频域分解（FDD）[7]）通常利用频响函数从结构响应中推导模态参数。尽管这些方法在平稳激励条件下表现优异，但当结构受到复杂、非平稳或受环境影响的激励时，其精度可能会显著下降。相比之下，时域方法可以概括为从识别的系统参数中确定模态参数的过程[8]，[9]，[10]。系统识别方法包括随机子空间识别（SSI）[11]、自然激励技术（NExT）[12]和特征系统实现算法（ERA）[13]，它们分析响应时间历史或相关函数。因此，它们更适合于无法直接测量结构激励或测量困难的操作条件。

在时域OMA方法中，SSI因其鲁棒性、计算效率和模态参数估计的准确性而受到广泛认可[14]。SSI方法的理论基础源于控制工程领域，而其应用已逐渐扩展到各个学科[15]。在土木工程中，SSI方法通常分为两类：协方差驱动型SSI（SSI-Cov）和数据驱动型SSI（SSI-Data）。SSI-Cov方法利用输出响应的协方差矩阵，特别适用于响应数据具有宽意义平稳统计特性的情况。相比之下，SSI-Data依赖于QR分解将未来输出投影到过去输出的空间上，然后进行基于SVD的系统识别。

通常认为SSI-Cov和SSI-Data由于不同的基本假设和实现程序而存在根本区别。然而，基于第2节简要介绍的基于工具变量的随机子空间框架，本研究证明了SSI-Cov和SSI-Data之间的根本区别在于它们各自选择的工具变量。此外，根据大数定律（WLLN），第3节进一步证明了这两种方法都适用于非平稳白噪声（不仅限于遍历平稳白噪声）。在数据无限和系统遍历的假设下，这两种方法会收敛到相同的参数估计值，从而可以进行理论性能比较。

尽管适当选择工具变量可以确保不同的SSI方法在理想渐近条件下收敛到相同的解，但这种理论等价性并不能保证实际性能相同。在有限样本情况下，估计方差和数值稳定性问题仍可能导致方法之间的性能差异。在第4节中，基于SSI框架，提出了一种新的模态识别算法——主成分随机子空间识别（PCSSI）。所提出的PCSSI方法通过将未来观测值投影到过去数据的主信号子空间上来仔细选择工具变量，显著增强了噪声抑制能力（见图1）。

第5节通过5000次蒙特卡洛模拟和缩比模型实验数据系统地研究和比较了PCSSI、SSI-Cov和SSI-Data在模态参数识别方面的性能。结果表明，PCSSI在显著降低方差和缓解模态低估和虚假频率识别等问题方面始终优于传统的SSI方法。此外，附录B基于数值模拟，对PCSSI、SSI-Cov和SSI-Data在数据有限情况下进行了比较分析，重点关注方差、效率和数值稳定性。总结来说，本研究的主要贡献如下：

• •
  基于随机子空间理论和WLLN，本研究表明在理想条件下（即数据无限、非平稳白噪声和系统遍历性），SSI-Cov和SSI-Data会收敛到相同的解。
• •
  为了解决实际数据中这些理想假设的偏差，我们提出了PCSSI算法，该算法增强了噪声抑制和数值稳定性。
• •
  在有限数据条件下，我们系统地比较了SSI-Cov、SSI-Data和PCSSI在（1）通过蒙特卡洛模拟的估计方差和（2）大样本情况下的数值稳定性方面的性能。

章节片段

状态空间模型的创新形式

在本节中，介绍了一种修改后的经典状态空间方程形式，称为状态空间模型的创新形式。这种形式是在一般的SSI-Data设置中通常识别的系统模型。创新形式将卡尔曼滤波器（KF）的估计值视为方程的状态向量。首先，我们考虑经典的状态空间模型，其表达式为：

$x_k=A{x}_k+w_k+d_k+$$x_k\in R^n$$y_k=C{x}_k+d_{}+$$x_k\in R^m$