适用于斯托克斯运动界面问题的接口适配虚拟元素方法

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：An interface-fitted virtual element method for Stokes moving interface problem

本文提出了一种适用于移动弹性界面Stokes流问题的虚拟单元法，基于背景Cartesian网格，动态调整被切割单元的边中点以适应界面移动，采用三次样条曲线更新界面坐标，设计半隐式离散格式实现无条件稳定，并通过数值实验验证了方法的高效性和精度。

　　

王刚|何胤年

西北工业大学数学与统计学院，教育部航空航天复杂性科学重点实验室，中国陕西省西安市，710129

摘要

本文提出了一种用于斯托克斯流中具有移动弹性界面的问题的虚拟元素方法。在域的笛卡尔网格背景下，每个未被界面切割的元素由八个节点组成，即四个顶点和四条边的中点。对于每个被切割的元素，我们将中点移动到界面位置，这不仅更新了元素的连通性，还允许随着时间的推移灵活地匹配界面。这个简单而有效的想法启发我们开发了一个界面适配的网格生成器。在空间离散化中，为斯托克斯问题开发了一种线性虚拟元素近似方法，该方法能够保证局部质量守恒。然后，为具有浸入式移动界面的斯托克斯方程设计了一种半隐式离散化方法，其中离散的双线性形式简洁，无需使用额外的惩罚项和乘数。具体来说，在界面适配的网格上求解速度后，我们更新位于界面上的点的笛卡尔坐标，并使用三次样条函数将这些点拟合成一条封闭曲线，该曲线将用于找到新时间下界面与背景网格边缘的交点。从理论上讲，我们证明了离散方案是无条件稳定的。最后，通过广泛的数值示例验证了我们方法的效率和准确性，包括在适当范数下的最优收敛率以及准确跟踪界面演变的能力。

引言

流体结构相互作用（FSI）问题是指可变形或可移动的弹性结构与周围流体相互作用的问题，出现在许多科学和工程领域中，例如生物力学。其中，佩斯金问题[1]、[2]以佩斯金在浸入边界方法（IBM）方面的开创性工作命名，是模拟弹性结构与不可压缩流体相互作用的基础模型，例如浸入二维斯托克斯流体中的弹性纤维。本文的目的是提出一种简单高效的数值算法来解决佩斯金问题，并解决几个关键挑战，包括处理移动界面和保持能量稳定性。

解决具有界面或浸入边界问题的数值近似方法分为两类，这取决于界面是否与网格匹配，通常称为非适配网格方法和适配网格方法。非适配网格方法作为一种强大的方法出现，用于解决界面问题。这些技术使用与界面几何形状无关的背景网格，避免了昂贵的网格生成和适应过程。该框架内的方法包括切割有限元方法（参见[3]中的综合综述）和非适配尼茨切有限元方法[4]、[5]、[6]，它们结合了稳定技术来处理小的切割元素并强制执行界面条件；浸入式有限元方法[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]和扩展有限元方法[14]、[15]、[16]、[17]，丰富了局部近似空间以捕捉不连续性；浸入式界面方法[18]、[19]、匹配界面和边界方法[20]、[21]以及幽灵流体方法[22]、[23]，它们修改了界面附近的有限差分或有限元方案。其他流行的方法包括虚拟域方法[24]、分段多项式离散化[25]、位移边界方法[26]等。总体而言，这些方法在界面元素的离散公式中引入了特殊的形状函数或特殊形式。虽然非适配网格方法在处理移动界面方面具有显著优势，但在高效实现和适当选择惩罚参数方面仍存在挑战。

适配网格方法也是解决界面问题的流行方法，其中计算网格的元素边缘或面与界面一致，使得能够在界面上精确施加跳跃条件（例如，通量连续性），并且通常能够获得最优的收敛率。此外，它们使用标准的有限元空间，不需要额外的惩罚项，避免了非适配网格方法的稳定性挑战。因此，离散方案简洁，得到的代数系统可以通过现有的求解器求解。这一类别中的关键方法包括有限元方法[27]、有限体积方法[28]、不连续伽辽金方法[29]、[30]、弱伽辽金方法[31]。适配网格方法的主要挑战在于生成完全符合材料界面的网格。这对于复杂和演变的界面来说尤其会带来显著的开销。当生成与界面匹配的网格时，元素的质量也会影响有限元解的准确性。据我们所知，关于使用适配网格方法解决佩斯金问题的研究仍然很少，而关于非适配网格方法[32]、[33]、[34]、[35]的研究相对较多。

作为有限元方法的一种推广，虚拟元素方法（VEM）[36]、[37]、[38]旨在处理具有任意多边形或多面体形状的复杂几何形状和网格，包括悬挂节点、非凸形状的元素以及可以绘制的任何其他元素几何形状。在VEM框架下，构建形状函数空间的思想是，每一组自由度都关联一个函数，该函数可能不是多项式，而是定义在多边形或多面体元素中的偏微分方程（PDE）问题的平滑解。然后，使用依赖于自由度的可计算投影算子来设计可计算的离散方案。这一框架自然能够适应非凸元素、悬挂节点和自适应网格细化，使得VEM方法对于网格变形特别稳健，并且适用于具有浸入式界面、材料异质性或断裂网络的问题[39]、[40]。

VEM方法已成功应用于一系列界面问题。最早，在[41]中，作者提出了一种简单高效的界面适配网格生成算法，该算法在二维和三维中都可以实现，通过将单纯形合并成背景Delaunay三角剖分中的多边形或多面体来实现。在[42]中，开发了一种虚拟元素方法（VEM）用于解决由背景非适配网格切割的特殊类别多边形网格上的二维Maxwell界面问题。在[43]、[44]、[45]中也开发了浸入式虚拟元素方法来解决界面问题。此外，在[46]、[47]、[48]中提出了一类扩展虚拟元素方法，通过在界面元素的边缘添加一些特殊项和离散双线性形式中的几个稳定项。上述研究主要集中在固定界面上。最近，在[49]中提出了一种新颖的方法来解决具有移动界面的椭圆问题。假设背景网格用8节点多边形元素离散化，每条边的中间节点随界面移动。

在本文中，得益于网格分解和形状函数构建的巨大优势，我们旨在提出一种用于斯托克斯流中具有移动弹性界面的问题的虚拟元素方法。我们的想法部分源自[49]中的工作，但在这里我们面临更多挑战，包括满足离散inf-sup条件、应力跳跃条件的离散化以及如何设计一个完全离散的、无条件能量稳定的方案。我们的方法基于笛卡尔背景网格。当界面穿过背景笛卡尔网格时，每个未被界面切割的元素由八个节点组成，即四个顶点和四条边的中点。一旦元素被界面切割，我们将中点移动到界面位置并更新元素连通性。然后，在空间近似中，速度的自由度定义为每个节点处的评估值，压力通过分段常数来近似。实际上，每个边内的节点不仅增强了inf-sup稳定性，还能够在不同时间灵活地匹配界面。为具有浸入式移动界面的斯托克斯方程设计了半隐式离散化方法，其中离散的双线性形式简洁，无需使用额外的惩罚项。同时，近似的速度具有局部质量守恒。在之前的时间层求解速度后，我们更新位于界面上的点的笛卡尔坐标，并使用三次样条函数将这些点拟合成一条封闭曲线，该曲线将用于找到下一个时间层界面与背景网格边缘的交点。从理论上讲，我们证明了离散方案是无条件稳定的。最后，通过广泛的数值示例验证了我们方法的效率和准确性，包括在适当范数下的最优收敛率以及准确跟踪界面演变的能力。

本文的结构如下：第2节将介绍具有移动界面的斯托克斯问题的表述。第3节依次介绍网格生成过程、虚拟元素空间、完全离散方案和稳定性分析。第4节提供了数值实验，以验证我们方法在静止和移动界面情况下的准确性和效率。最后，第5节给出结论。

节选

连续问题

我们考虑一个粘性不可压缩流体在方形域Ω中的模型问题，其中有一个浸入式的无质量弹性边界Γ，其形状为曲线。曲线Γ将Ω划分为内部域Ω₁和外部域Ω₂，如图1所示。Γ的配置以参数形式给出，X(s, t)，0?≤?s?≤?L，以及。在时间t，我们需要找到流体速度u、流体压力p以及曲线Γ的笛卡尔坐标，满足以下条件

网格生成

网格生成从域Ω的均匀笛卡尔网格$T_h^{*}$开始，如图3(a)所示，该网格由直径为h_E的矩形元素E组成。最大直径为$h={\max }_{E\in T_h^{*}}\left\{h_E\right\}$。我们假设界面Γ最多与每个元素$E\in T_h^{*}$相交两次，且E的每条边最多相交一次。接下来，我们将描述如何从背景网格$T_h^{*}$生成计算网格。

对于每个未被界面切割的$E\in T_h^{*}$，为其分配八个节点。

数值实验

在本节中，我们将通过一系列数值示例来验证我们方法的准确性和效率。在前两个示例中，我们考虑最简单的稳态情况，其中界面是固定的，并处理界面上的均匀和非均匀应力跳跃条件。在第三个示例中，我们进一步解决了具有移动界面的问题，前提是界面的移动由事先给出的函数描述。在第四个示例中，我们

结论

在本文中，我们开发了一种用于具有移动界面的时变斯托克斯问题的界面适配虚拟元素方法。计算网格基于笛卡尔网格生成，并通过动态移动界面与背景网格之间的交点来生成。空间离散化应用了具有线性近似的虚拟元素空间。所有这些方法都充分利用了VEM方法在网格和函数空间方面的高灵活性。

CRediT作者贡献声明

王刚：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、研究、资金获取、形式分析、概念化。何胤年：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督、方法论、研究、资金获取、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。