循环小相位定理

《IEEE Transactions on Automatic Control》：A Cyclic Small Phase Theorem

本文提出多输入多输出线性时不变系统的新型段相定义，基于矩阵归一化数值范围在单位圆上的最小圆弧段，并建立循环小相位定理，为多子系统单回路循环反馈系统的稳定性分析提供新方法，同时通过角度缩放技术降低保守性。

　　

摘要：

本文提出了一种全新的相位定义方法，称为“分段相位”，适用于多输入多输出线性时不变系统。该定义的核心在于“矩阵分段相位”，顾名思义，它是基于单位圆内覆盖矩阵归一化数值范围的最小圆形段来直观表示的。矩阵分段相位具有重要的特征相位界限，这一特点使其区别于文献中现有的多种相位概念。所提出的界限为包含多个子系统的单环循环反馈系统的稳定性分析奠定了基础。我们的主要成果是建立了一个循环小相位定理，该定理要求系统相位位于?π和π之间。这一定理是对著名“小增益定理”的循环形式的一种补充。此外，通过使用角度缩放技术，我们还对所提出的定理进行了推广，以降低分析的保守性。

引言

增益和相位的概念是经典控制理论中的两个相互支持且紧密相关的核心要素。博德图（Bode diagram）和奈奎斯特图（Nyquist plot）作为重要的图形工具，其基础正是单输入单输出（SISO）线性时不变（LTI）系统的增益和相位响应。这些概念在反馈系统分析中具有极高的实用性，包括奈奎斯特稳定性判据、增益/相位裕度以及超前/滞后补偿技术等。