平面多项式动态系统中相位图像的模拟电路实现与几何结构分析

《IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers》：Analog Circuit Implementation and Geometric Structure Analysis of Phase Portrait in Planar Polynomial Dynamic System

平面多项式动力系统相图几何结构与硬件实现研究，揭示四、六、九平衡点系统的分布规律及哈密顿能量作用机制，成功开发首个基于非线性模拟电路的相图几何结构实现方案，实验验证理论与电路一致性，促进几何拓扑与非线动力学的工程应用融合。

　　

摘要：

对希尔伯特第16问题中平面多项式动力系统的研究为非线性动力系统提供了重要的见解。然而，当前的研究很少从相图几何结构的角度对系统进行定量分析，也没有物理实现。为了解决这一空白，本文将从几何结构的角度研究具有四个、六个和九个平衡点的平面多项式系统，揭示其内在特征，如平衡点分布和同宿/异宿轨道。然后，通过哈密顿能量来研究系统，以解释几何结构形成的根本原因。最重要的是，首次成功开发了一种用于几何结构硬件电路实现的方法。示波器观察结果显示实验结果与理论预测一致，这种硬件实现为工程应用奠定了基础。总体而言，这项研究促进了几何拓扑、非线性动力学、模拟电路设计和工程应用之间的跨学科整合，为探索复杂动力系统提供了一种新的方法论框架。

引言

希尔伯特发表了一次著名的演讲，在演讲中提出了23个未解决的数学问题[1]。迄今为止，希尔伯特的第16问题尚未完全解决，该问题分为两部分。第一部分是关于平面代数曲线的不同分支如何排列的问题；第二部分是关于由多项式微分方程组产生的极限环的数量。希尔伯特的第16问题是动力系统定性理论中的一个关键挑战，对几何拓扑、非线性动力学和全局分析具有深远的影响。然而，当前的研究很少从相图几何结构的角度对希尔伯特第16问题中的平面多项式动力系统进行定性和定量分析，也没有具体的物理实现。为了解决这一空白，本研究将从几何结构的角度研究平面多项式动力系统，以阐明它们的动态行为，并首次通过非线性模拟电路实现相图的几何结构。这项研究可以在几何拓扑、非线性动力学、电路设计和实际工程实现之间架起桥梁，从而取得重大进展。本研究的内容源于希尔伯特的第16问题。因此，将简要概述希尔伯特第16问题的研究历史和第二个阶段。