韦伯尔分布更新函数的新近似方法

《Reliability Engineering & System Safety》：New approximations for the renewal function of the Weibull distribution

更新函数韦伯分布近似方法可靠性建模三角函数振荡行为

　　

Christos G. Papadopoulos | Konstadinos Politis

希腊比雷埃夫斯大学统计与保险科学系，比雷埃夫斯

引言

在可靠性研究中，当对可修复系统的性能进行随机建模时，系统通常会在某些（随机的）时刻“从零开始”。这些时刻通常被称为更新点（或简称为更新）。记录系统中故障（更换）的随机模型是更新过程。该模型中主要关注的量是更新函数（RF）M(t)，它表示时间区间[0, t]内的预期更新次数。更新函数的典型应用包括： - 可靠性建模与分析，例如可用性分析（[11], [16], [54]） - 面临冲击的系统的可靠性建模（[7], [17], [25], [28], [46]） - 保修分析（[21], [29], [34], [39]） - 维护与优化问题分析（[1], [20], [24], [47], [53]） - 供应链和库存管理（[4], [27], [35]） 更新模型也出现在排队论中，它们有助于分析和设计服务系统、计算机网络和电信系统（[23], [40]）。 工程应用包括对退化基础设施的生命周期分析。基于更新的模型已被用于评估受到腐蚀和地震影响的钢筋混凝土桥梁，捕捉随机退化并评估可用性和长期成本（[19]）。 此外，在实际情况下不满足更新过程假设的情况下，可以使用各种泛化模型作为所考虑系统的随机模型。例如，近年来在可靠性分析中特别流行的一种模型是马尔可夫更新模型，参见[49], [52]及其中的参考文献。更新理论也已扩展到具有簇间依赖性和到达时间间依赖性的簇过程，并在环境科学和保险领域得到应用（[3]）。 在本文中，我们提出了一些新的近似方法来计算当底层寿命分布为韦伯尔分布时的更新函数。在上述所有应用中，准确近似RF是非常可取的。另一方面，除了指数分布（在大多数实际情况中作为模型不现实外），韦伯尔分布是可靠性建模中最常用的概率分布。最近的研究强调了韦伯尔分布及其倒数分布（IW）家族在可靠性中的核心作用，参见[43]和[45]，这些研究强调了它们适用于建模单调和非单调故障行为的适用性。特别是，韦伯尔分布被广泛用于分析各种情境下的寿命。例如，它常用于预测真空管、滚珠轴承和电气绝缘材料的寿命。它还用于生物医学领域，以模拟人类或实验动物中肿瘤诊断的时间[51]。 此外，最近提出了几种灵活的寿命模型，用于应用生存分析和可靠性分析，包括涉及COVID-19死亡数据的研究，展示了广义分布框架的多功能性（[30], [42], [44]）。 计算更新函数的一种常见方法是使用拉普拉斯变换。当寿命分布F是相位型时，更新函数具有封闭形式，原则上可以进行显式计算[2]。这类分布包括指数分布、指数分布与Erlang分布的混合等。对于不存在RF解析解的情况，已经开发了多种近似方法和界限。在第2节中回顾了一些在可靠性背景下更有用的近似方法；另见[12]和[33]。RF的界限已在[31], [36], [38]中给出，最近在[6]和[32]中也有所介绍。另一种计算更新函数的方法是蒙特卡洛模拟；鉴于计算速度和效率的显著提高，这种方法越来越受到重视，参见[5], [16]和[48]。 我们的近似方法基于Politis和Koutras [36]提出的一个界限，该界限对于较小的和中等大小的t值表现良好。对于较大的t值，我们通过两种方式改进了这一界限的性能：(i) 我们使更新函数的正确渐近行为与我们的近似行为相匹配；(ii) 我们使用三角函数来模拟更新函数的振荡行为。韦伯尔更新函数的一个关键特征是其在无穷远处的振荡行为。Feller在其开创性论文[13]中提到，对于有界的更新方程的解，通常假设“它以振荡方式趋近于一个有限极限q”。对于与韦伯尔分布相关的更新密度，这一理论论点得到了实证证据的支持。对该密度的数值研究（[8], [41]）已经证明其围绕其极限持续振荡一段时间。这反过来意味着更新函数M(t)在t/μ附近波动，对于较大的t值尤其如此。为了匹配这种行为，我们使用了形式为sin(t)/t的三角函数。据我们所知，这是首次使用三角函数来匹配更新函数的渐近行为。我们预计，对于其他在可靠性中感兴趣且没有封闭形式表达式并且在无穷远处已知振荡的量，也可以使用类似的方法进行近似。因此，我们预期在后续章节中采用的方法可能会为观察到的振荡行为的其他可靠性函数打开使用类似三角近似的大门。 本文的结构如下：在下一节中，我们回顾了一些关于更新函数的背景和已知近似方法。在第3节中，我们讨论了两种新的韦伯尔更新函数近似方法；在接下来的章节中，我们提出了另一种近似方法，并给出了一些数值结果来评估不同近似的准确性。最后一节是一些结论性的评论。 在以下章节的近似实现和数值演示中，始终使用了计算机代数软件Mathematica。

小节片段

更新函数：定义和一些已知的近似方法

如前所述，更新过程常被用作可靠性理论和维护中的模型，或者更一般地，在涉及物品故障和更换的情况下。这些物品的寿命X1, X2, ……被假设为独立同分布（iid）的非负随机变量，具有分布函数F和概率密度函数f。更新（计数）过程{N(t), t≥0}记录了连续的更换（更新），因此对于t≥0，N(t)…

前两种近似方法

在本节中，我们提出了两种新的韦伯尔更新函数近似方法。我们假设比例参数α=1。首先，我们回顾Politis和Koutras [36]得到的RF的下界： L(t) = t/μ1 + Fe′?μ2?μ1/2F(t)?1/F(t)?1/μ2μ1/2F(t)?1 其中μk是F的第k阶矩（这里μ=μ1），F′是F的尾部。

第三种（更简单的）近似方法和数值结果

在这里，我们提出了第三种RF近似方法，其思想与(18)相同，但更简单。实际上，我们不再使用函数M_P(t)，而是使用以下形式的函数： M_P(t) = L(t) + A(sin(B(t)) + q 其中B=6.51107，q由(11)给出。因此，我们在本文中提出的第三种近似方法是： M_3(t) = (1 ? S)(M_0(t) · M_P(t)) + S(M(t) · M_P(t)) 其中A(β, t)是需要确定的未知量。尝试找到使A(β, t)的值，以最小化与“真实”值的距离。

结论性评论

- 在本文中，我们使用了Xie的算法（一种数值方法）来找到(7)中下界的误差，然后寻找一个数学函数来适当表示这个误差。当然，拥有解析近似而不是数值近似有明显的优势；在当前背景下，拥有更新函数的公式使我们能够获得通过更新函数表达的各种其他感兴趣量的近似值。

未引用的参考文献

[37]

资金来源

本工作部分得到了比雷埃夫斯大学研究中心的支持。

CRediT作者贡献声明

Christos G. Papadopoulos：概念化、方法论、形式分析、写作——原始草稿。 Konstadinos Politis：概念化、方法论、形式分析、写作——审阅与编辑。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的财务利益或个人关系。