基于物理知识的神经网络用于求解粘弹性电极中的耦合扩散-变形模型

《Computational Materials Science》：Physics-informed neural network for solving the coupled diffusion-deformation model in a viscoelastic electrode

物理信息神经网络（PINN）被提出用于解决粘弹性电极中非线性扩散-变形耦合偏微分方程，通过构建包含本构关系和边界条件的损失函数，在DeepXDE库和PaddlePaddle框架的支持下，成功预测电极位移与锂离子浓度分布，并与有限元法（FEM）结果对比验证了PINN的有效性和高精度。

　　

苏瑶红|槐成宇|吴云浩|李勇

福州大学机械工程与自动化学院，中国福建省福州市350108

摘要

随着锂离子电池中扩散-变形耦合模型复杂性的增加，传统数值方法常常面临收敛性差或仿真精度低的问题。在这项工作中，我们提出了一种新的物理信息神经网络（PINN），该网络基于DeepXDE深度学习库，无需任何先验数据即可求解粘弹性电极中的耦合扩散-变形模型。耦合扩散-变形偏微分方程（PDEs）的损失函数以及初始和边界条件是基于非线性本构关系构建的。PINN成功地预测了单向耦合扩散-变形和完全耦合瞬态扩散-变形PDEs中的电极位移和锂离子浓度。数值结果表明，PINN的预测结果与有限元仿真结果非常吻合，证明了PINN是分析粘弹性电极中扩散诱导变形的一种有前景且有效的方法。

引言

导电聚合物，如聚吡咯（PPy），由于其高电导率和比容量，被广泛研究作为锂离子电池和超级电容器的活性电极材料[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。与传统插层阳极不同，导电聚合物电极本身作为离子储存的载体。在电化学循环过程中，离子的嵌入/提取会导致PPy基体的显著体积膨胀/收缩[6]、[7]、[8]。因此，研究导电聚合物的扩散诱导变形具有重要意义。

目前，有限元方法（FEM）被广泛用于分析锂离子电池中的力学-化学耦合模型。例如，Zhu等人[9]使用FEM模拟了镍钴锰氧化物颗粒在锂化过程中的应力和裂纹行为。Clerici等人[10]利用FEM分析了静水应力对锂离子扩散的影响，强调了力学和电化学的相互作用。Hao等人[11]在双层电极-集流体结构中引入了预应变策略，发现预应变能够显著减轻电极薄膜和集流体的扩散诱导应力。在上述文献中，随着扩散-变形的数值建模和仿真变得越来越复杂（特别是对于粘弹性电极，应力和应变之间的非线性本构关系使得控制偏微分方程（PDEs）变得高度非线性），传统数值方法（如FEM）常常遇到收敛困难，并需要更细的网格来求解这些高度非线性的耦合PDEs[12]、[13]。因此，探索和发展一些不依赖于网格的新颖有效数值方法至关重要。

将先验物理知识融入神经网络是求解PDEs的有效方法。物理信息神经网络（PINN）通过在训练过程中加入先验公式作为约束来采用这种策略，从而提高预测精度[14]、[15]。此外，PINN在训练期间不需要在采样坐标处预先知道精确或参考解，这与传统的深度学习方法不同。目前，对于实验数据较少但物理理论良好的情况，PINN已经显示出优于纯数据驱动神经网络的性能[16]、[17]。例如，Xue等人[17]开发了一个扩散诱导应力模型，并利用PINN解决了弹性球形电极中位移和溶质浓度的时空演化。Huang等人[18]使用PINN分析了大变形薄膜电极中的扩散诱导应力，成功捕捉了应力演化。基于采样点的时空坐标、PDE系统结构以及相关的边界和初始条件，Li等人[13]构建了一个损失函数，利用PINN准确预测了空心圆柱形纳米电极中的应力和锂离子浓度分布，其结果与有限元仿真结果非常吻合。需要注意的是，上述文献中使用的应力和应变的本构关系是线性的，相应的多场耦合PDEs也是通过PINN求解的。然而，粘弹性电极中的应力和应变本构关系是非线性的，而且利用PINN求解粘弹性电极中的扩散诱导变形的研究较少。

基于上述讨论，本文提出了PINN来求解粘弹性电极中耦合扩散-变形行为的非线性PDEs。损失函数是基于应力和应变的非线性本构关系构建的，并构建了具有三个隐藏层的神经网络来求解单向和完全耦合的扩散-变形PDEs。通过$\alpha$（L²相对误差的相关系数）和损失函数的收敛性，将PINN的预测性能与FEM进行了比较。

数学公式

锂离子插入的立方体电极的厚度和宽度小于长度，如图1(a)所示。在充电或放电过程中，锂离子的传输通常被建模为沿着电极的长度方向（x方向）由溶质浓度梯度驱动的一维扩散过程，从右侧（x = l）向左侧（x = 0）进行，且电极是粘弹性的，如图1(b)所示。基于弹性理论，

用于求解单向耦合PDEs的深度神经网络和损失函数

随着深度神经网络的出现，数据驱动的方法越来越多地被用于求解偏微分方程[21]、[22]。这种方法的核心在于构建一个损失函数，该函数量化了神经网络预测与参考解之间的差异。传统的损失函数可以表示为