基于总变分正则化的低秩张量优化在点云去噪中的应用

《Computer-Aided Design》：Low-rank tensor optimization with total variation regularization for point cloud denoising

点云去噪通过低秩张量优化框架实现，提出结构-aware张量构造、融合TV与鲁棒正则化的约束优化模型，以及基于RANSAC的正常选择与几何感知更新策略，有效抑制混合噪声并保持多尺度特征。

　　

王春雪|彭浩|邓朝阳|刘立刚

杭州电子科技大学理学院，中国杭州，310018

摘要

点云去噪是3D计算机视觉应用中的基本任务，但由于需要同时抑制噪声和保留几何特征，这一任务仍然具有挑战性。本文提出了一种新颖的低秩张量优化框架，通过三个关键技术贡献解决了这些挑战。首先，我们开发了一种结构感知的张量构建方法，该方法通过正交投影将局部块与其非局部相似的对应块结合起来，形成一个高阶张量，该张量内在地编码了几何规则性。其次，我们构建了一个受限的张量优化模型，该模型结合了低秩Tucker分解、总变分（TV）和鲁棒正则化，以捕获全局结构，确保局部平滑性，并抵抗广泛的高斯噪声和稀疏异常值。第三，我们提出了一种基于RANSAC的特征感知法来准确恢复每个点的法线，随后使用几何感知的位移方案更新顶点。数值实验表明，所提出的模型在重建精度和结构保留方面优于现有方法。

引言

3D点云模型因其能够提供物体的精确和详细描述而在各个领域得到广泛应用。然而，由于设备精度和环境条件等因素，点云数据不可避免地包含噪声，这使得点云去噪成为近年来越来越重要的研究课题。

点云去噪的目标是在准确保持其内在几何属性（如清晰和细粒度特征）的同时消除噪声。多年来，已经开发了许多局部方法来保留这些特性。例如鲁棒隐式移动最小二乘（RIMLS）[1]、边缘感知重采样（EAR）[2]、基于高斯混合模型的点集过滤（GPF）[3]和移动鲁棒主成分分析（MRPCA）[4]。然而，这些方法仅使用局部技术，无法捕捉非局部相关性，从而导致特征恢复效果不佳。本文提出，利用非局部相似性进行点云去噪可以显著提高过滤性能，实现噪声抑制和多尺度特征保留的同时改进。

大量研究表明，非局部相似性是图像处理中的有效技术[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]，它将目标块（一个$k\times k窗口）中最相似的规则块组合起来，并通过沿其列/行打包它们来构建一个块组矩阵（PGM）。尽管最初会受到噪声、缺失数据和纹理的影响，但由于块之间的强相关性，PGM本质上是低秩的，可以恢复。然而，将非局部相似性应用于3D点云并非易事。这一挑战的出现是因为点云与具有规则拓扑结构的图像不同，缺乏内在的组织结构，使得难以描述底层表面的内在几何特征。主要难点可以总结如下：（1）如何规则地表示点云的不规则采样？（2）如何定义块的特征描述符并在最优特征空间中测量局部块之间的相似性？（3）如何构建一个能够表征内在几何特征的低秩模型并有效求解它？$

受这些挑战的启发，我们提出了一种新颖的低秩张量优化框架，以有效去除噪声并恢复几何特征（如图1所示）。首先，将带噪声的输入分割成多个重叠的局部各向同性块，然后分别处理每个块。特别是，我们提出了一种鲁棒的块匹配策略，该策略通过迭代最近点（ICP [12]）配准同时利用原始点坐标和法线信息，即使在显著噪声下也能有效识别几何一致的块。然后将这些相似的块聚合成规则化的张量结构，而不是重新组装的矩阵，以保持局部表面的内在几何完整性。其次，我们构建了一个结合TV、Frobenius和$L_1$范数的低秩张量优化模型，以同时促进全局结构完整性和局部平滑性，同时有效抵抗高斯噪声和稀疏异常值，并通过聚合所有相关块的法线来更新每个点的法线。最后，为了在重建的点云中保留清晰的特征，我们引入了一种鲁棒的法线选择方案，在执行法线引导的特征感知顶点更新之前对每个点的法线方向进行细化。广泛的实验和比较表明，我们的方法总体上优于现有的最先进技术。

值得注意的是，还有一些相关工作也探索了点云处理的低秩和协作策略，包括[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]。虽然这些方法都利用了非局部自相似性这一共同动机，但我们的方法在块匹配和优化方面引入了关键区别，从而在特征保留和噪声去除方面取得了更好的性能。首先，Lu等人[13]通过张量投票[18]定义了局部各向同性结构（LIS），但当前版本的LIS是对旋转的变体；Rosman等人[14]和Chen等人[15]在法线过滤后搜索相似块，这会去除去噪表面中的小尺度表面细节；Zhu等人[16]使用法线张量投票来搜索相似块，这容易受到高级噪声的影响。Li等人[17]使用迭代最近点（ICP）算法根据顶点位置信息寻找相似的局部块，但难以处理形状相似但方向不同的情况。相比之下，我们的方法尽可能多地利用顶点坐标和法线来更鲁棒地提取相似块。其次，上述所有方法要么利用矩阵的谱属性，要么采用低秩矩阵优化模型，这通常会损害点云的局部结构特征。相比之下，我们的方法基于张量构建，本质上保留了局部结构特征，利用低秩张量优化模型更有效地保持了内在的局部几何形状。相关比较实验可以在第6节中找到。

本文的主要贡献包括：

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  提出了一种基于点云配准的新相似性度量方法，以及一种基于投影的点云张量构建方法。
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  将法线估计问题表述为具有总变分（TV）正则化的张量低秩优化问题，在交替方向乘子法（ADMM）框架内有效处理混合高斯和稀疏噪声。
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  引入了一种鲁棒的法线选择方案，以细化每个点的法线方向，并结合了法线引导的特征感知顶点更新方案。
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  广泛的定性和定量评估证明了所提方法的鲁棒性和准确性。

相关工作

相关工作

现有的点云去噪技术大致可以分为基于位置的方法[19]、[20]、[21]和基于法线的方法[13]、[15]、[16]、[22]。前者直接操作点的3D坐标，通常通过分析空间关系并应用过滤或平均操作来平滑点位置；而后者通常包括两个常见步骤：法线估计和位置更新。本节回顾了基于法线方法的先前工作，

张量构建

在本节中，我们介绍了一种将离散点云数据转换为结构化张量表示的方法。为了清晰起见，此后我们将[13]中描述的算法称为LRM方法，而我们的方法相对于这一基线的关键概念改进在以下各小节中详细说明。给定一个由PCA [26]初始化的位置坐标和法线组成的输入点云，我们首先构建局部各向同性块

低秩张量优化

在本节中，我们提出了一个结合变分正则化和混合噪声建模的低秩张量去噪框架，并开发了一个高效的算法来解决由此产生的优化问题。

法线和位置更新

点云中的每个点对应于多个局部块，每个块都会产生自己的优化张量结果。本节描述了如何从这些多个优化结果中选择最终的法线方向，并简要介绍了我们的位置更新方法。

实验结果与分析

为了验证我们算法的去噪性能，我们在合成数据和真实数据[37]、[54]上对其进行了测试，并提供了与最先进方法（包括MRPCA [4]、[39]、HO [22]、LRM [13]和PathNet [54]）的视觉和定量比较。在所有算法执行之前，首先使用PCA进行初始法线估计。在参数调整过程中，优先考虑最大化噪声去除（不包括算法引起的失真），即使以部分特征保留为代价。

结论

在本文中，我们提出了一种基于低秩张量优化的点云去噪框架，以解决现有非局部方法的局限性，如它们倾向于过度平滑几何细节。所提出的方法在特征保留方面表现出色，对参数调整的依赖性最小，并具有很高的实际应用性。实验结果证实，我们的方法在视觉效果上显著优于现有技术。

CRediT作者贡献声明

王春雪：撰写——原始草稿，形式分析，数据整理，概念化。彭浩：撰写——原始草稿，形式分析，数据整理。邓朝阳：撰写——审阅与编辑。刘立刚：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

作者感谢比较方法的研究人员公开他们的源代码和数据集，以及本手稿的审稿人提出的有益评论和建议。本研究得到了浙江省自然科学基金（项目编号：LQN26F020042）和杭州电子科技大学的启动基金（项目编号：KYS075624218）的支持。