多项式再生增强等几何分析在隐式域上的应用——基于加权扩展PHT样条

《Computer-Aided Design》：Polynomial Reproduction-Enhanced Isogeometric Analysis on Implicit Domains Using Weighted Extended PHT-Splines

加权扩展PHT样条隐式域分析中多项式再现性增强及误差估计研究。摘要：针对隐式域加权扩展B样条方法中权重函数导致多项式再现性退化的问题，提出通过窄带重构隐式权重函数的改进框架Pre-IGAID。该重构使权重函数在大部分域内退化为1，同时保持边界描述能力，进而构建多项式再现性增强的加权扩展PHT样条分析空间，并建立相应的先验误差估计。数值实验验证了该方法在含奇点的复杂域上的高效性与高精度。

　　

赵存碧|朱远鹏

北京航空航天大学人工智能学院，中国北京100871

摘要

加权扩展B样条和等几何分析在隐式域上的一个关键限制是权重处理过程导致的多项式再现能力下降，这改变了有效的分析空间，从而降低了精度和收敛性。为了解决这个问题，我们提出了一种在隐式域上增强多项式再现能力的等几何分析框架。其核心思想是对隐式权重函数进行窄带重构，以在恢复内部逼近空间的同时保持隐式边界描述。基于重构的权重函数，我们构建了一个增强多项式再现能力的加权扩展PHT样条分析空间。这种构建在大部分计算域内恢复了多项式再现能力，同时提高了逼近质量和收敛速率。我们还为所提出的方法建立了先验误差估计。通过几个数值示例来证明所提方法的准确性和效率。

引言

计算力学和几何处理中的偏微分方程（PDE）问题通常出现在几何形状复杂的域上，例如多孔或多基因区域、薄壁形状以及具有强烈曲率变化或边界/拓扑奇点的域[1]，[2]。在这些情况下，生成高质量的边界拟合网格或构建全局规则的参数化往往成本高昂，且在奇异特征附近有时不可靠。这些挑战促使人们开发出能够在具有复杂边界的域上稳健计算的分析框架。

为了避免边界拟合网格，人们在一类结构化的背景网格上开发了嵌入式和隐式域方法。Belytschko的扩展有限元方法（XFEM）通过基于水平集的界面描述丰富了逼近空间，从而可以在不需要边界拟合网格的情况下捕捉不连续性或材料界面[3]。类似地，Parvizian的有限单元方法（FCM）将复杂几何体嵌入到一个简单的计算域中，并使用隐式指示函数和自适应数值积分来准确评估切割单元上的积分[4]。虽然这些方法提供了强大的几何灵活性，但它们也引入了一些众所周知的难题。实现可能很复杂，必要的边界条件通常只能近似地施加，而且当基函数在物理域内只保留了一小部分支持时，切割单元可能导致严重的病态条件。这些问题在复杂边界和自适应设置中尤为明显。

在这种背景下，H?llig的加权扩展B样条（WEB）方法提供了一种基于样条的方法，以提高靠近切割边界的鲁棒性[5]。它通过权重函数隐式描述边界，并采用一种扩展技术将小支持边界基函数与更稳定的内部基函数耦合起来。这种构建可以显著减轻切割单元引起的病态条件，并提高边界附近的数值精度。然而，经典的WEB公式通常建立在张量积样条空间上，其中局部细化是有限的。为了解决这一限制，Qarariyah提出了在隐式域上的等几何分析（IGAID）[6]，[7]，该方法通过采用分层PHT样条将局部适应性引入加权扩展样条框架中。这种增强使得在隐式定义的域上保持边界鲁棒性的同时实现局部细化。

无论使用何种计算框架，数值精度最终都取决于分析空间的表达能力和逼近能力。对于多项式样条空间，一个关键的描述符是多项式再现能力。给定一个目标多项式空间，如果该目标空间中的每个多项式都可以通过相关区域上的分析基函数的线性组合来精确表示，则称该分析空间具有相应阶的多项式再现能力。多项式再现能力是逼近能力的一个关键理论指标，因为再现到预定阶的多项式控制了主要误差项，从而决定了可实现的逼近阶数和收敛速率[8]，[9]。因此，这一属性在IGA文献中得到了广泛研究。例如，Zhang等人[10]开发了用于等几何分析的B样条和NURBS基函数的再现核公式，这使得可以构建满足预定再现条件的逼近基函数。Wu等人[11]表明，多项式再现能力在保持实际计算中的预期逼近精度和收敛行为方面起着决定性作用。

然而，多项式再现能力在WEB和IGAID方法中并不自动得到保持。隐式方法依赖于一个隐式权重函数，并将分析基函数构建为未加权样条基函数和权重函数的乘积。这种乘法构建对于统一处理复杂边界是有效的。然而，非平凡的权重函数会修改底层函数空间，使得未加权样条空间中包含的多项式子空间可能不再包含在加权空间中。因此，多项式再现能力会下降，从而降低逼近质量并恶化收敛速率[12]。

为了解决这个问题，我们提出了一种在隐式域上增强多项式再现能力的等几何分析（Pre-IGAID）框架。主要思想是重构隐式权重函数，使其在域的内部恒等为一，并仅在边界附近的一个预定狭窄过渡带内平滑变化。这种重构通过减少域内部非平凡权重的影响，解决了隐式域方法的一个关键限制，从而提高了结果分析空间在大部分计算域内的逼近能力。同时，重构的权重保持连续性，并保留了表示复杂隐式边界的能力。值得注意的是，这种权重函数重构是一种通用策略，可以应用于依赖乘法加权的各种隐式域公式。基于重构的权重函数，我们开发了一个增强多项式再现能力的加权扩展PHT样条分析空间。这个分析空间在大部分计算域内恢复了多项式再现能力，同时保持了边界鲁棒性和局部细化能力。

从概念上讲，所提出的Pre-IGAID框架通过整合以下关键组件来促进偏微分方程的数值求解：

• •
  我们为隐式域方法引入了一个权重函数重构框架。它在保持边界属性的同时恢复了权重函数的内部结构。
• •
  我们构建了增强多项式再现能力的加权扩展PHT样条分析空间，并为该分析空间建立了先验误差估计。
• •
  我们在具有奇点的代表性隐式定义域上验证了所提出的Pre-IGAID框架，展示了准确和稳定的数值结果。

本文的其余部分结构如下。第2节介绍了Pre-IGAID的概念设计。第3节讨论了隐式方法中使用的权重函数，并开发了隐式权重函数的多项式再现能力重构。第4节简要回顾了PHT样条和扩展PHT样条的构建。第5节为Pre-WEPHT离散化建立了先验误差估计。第6节报告了实现细节和数值实验以进行验证。最后，第7节总结了本文并概述了未来的研究方向。

章节摘录

在隐式域上的增强多项式再现能力的等几何分析

尽管等参概念在FEM的背景下已经讨论了很长时间，但IGA从根本上颠覆了其传统实现方式。在FEM中，逼近基函数同时定义了几何映射和解空间。相比之下，IGA从精确的基于样条的CAD几何体开始，并使用这些相同的函数来构建因变量的解空间。这种范式促进了几何建模和数值模拟之间的紧密耦合。

权重函数和增强多项式再现能力的构建

在本节中，我们首先回顾了代表性的隐式域策略及其相应的权重函数表示，包括经典的WEB样条设置和IGAID中采用的样条重构隐式场。然后，我们提出了一种增强多项式再现能力的构建策略，将几何过渡限制在$?\Omega$附近的一个可控狭窄带内，同时在域内部恢复未加权的样条逼近属性。

扩展PHT样条

本节提出了PHT和扩展PHT样条的完整公式框架。

模型问题和先验误差估计

本节介绍了Poisson模型问题，并基于Pre-WEPHT空间为所提出的Pre-IGAID离散化建立了先验误差估计。通过利用增强多项式再现能力的权重设计，即在$\omega \equiv 1$在内部，同时保持边界附近的平滑连续过渡，我们展示了所得逼近空间具有强大的逼近能力，并在网格细化下表现出良好的收敛行为。

数值实现

本节通过几个基于第5.1节介绍的具有基本Dirichlet边界条件的Poisson方程的数值示例来演示所提出的方法。

在6.1节中，我们考虑了两个具有平滑精确解的问题，并使用全局细化来直接展示我们方法的改进。在6.2节（圆形域）、6.3节（环形域）和6.4节（不规则域）中，我们关注具有奇异解的Poisson问题

结论和未来工作

本文提出了一种在隐式域上增强多项式再现能力的权重函数重构框架。在保持边界属性的同时，重构的权重在大部分内部恒等为一，从而提高了后续分析空间的逼近能力。基于这个重构的权重，我们通过将其与加权扩展PHT样条结合来构建Pre-WEPHT空间，并为这个分析空间建立了先验误差估计。

CRediT作者贡献声明

赵存碧：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、调查、概念化。朱远鹏：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督、方法论、调查、资金获取、形式分析、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（编号：12571406）和广东省基础与应用基础研究基金（编号：2024A1515010413、2025A1515011263）的支持。