在过去的二十年里，多尺度耦合方法作为一类重要的同时多尺度方法，吸引了包括力学、材料科学、生物化学和数学等多个学术界的广泛关注[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。准连续（QC）方法，也称为原子到连续（a/c）耦合方法，是分子力学（MM）中典型的多尺度耦合方法之一，旨在实现模拟晶体缺陷时的（准）最佳准确性和效率平衡[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。QC方法的基本思想是在局部缺陷（也称为原子区域）附近使用相对更精确的分子力学模型，而在弹性远场（也称为连续区域）使用连续模型，如柯西-玻恩近似。
不同QC方法的建模和“事先”分析已经得到了全面的研究[6]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。我们还可以参考[4]、[32]中的综述和基准测试，以及[5]中关于严格“事先”误差分析的框架。然而，对于QC方法来说，自适应性同样重要。这是因为材料系统可能非常复杂，以至于没有足够的“事先”知识来指导原子区域和连续区域的划分以及适当网格结构的构建，从而实现准确性和效率之间的最佳平衡。因此，“事后”估计和相应的自适应算法对于QC方法的实际应用至关重要[33]、[34]。
基于理论的“事后”误差估计有两种主要方法，这两种方法都被自适应QC方法所采用。第一种是目标导向的方法，旨在“减少解的某个函数的误差”[35]，这些函数通常被称为“感兴趣的量”[36]、[37]、[38]、[39]。基于这种方法的自适应QC方法已应用于一维Frenkel-Kontorova模型的模拟[40]、[41]、[42]和三维纳米压痕问题[43]。后来，这种方法还被应用于基于Arlequin框架的QC方法的自适应模型误差控制[14]、[44]。这种方法的主要缺点是很难获得感兴趣量的良好估计，从而导致自适应过程的适当停止标准难以确定[45]。
本研究关注第二种方法，即基于残差的“事后”误差估计，该方法旨在“减少误差的范数”[35]。这种方法最初被用于一维一致QC方法的“事后”误差控制问题[24]、[46]。随后，它被扩展到具有最近邻相互作用的两维点缺陷的几何重构原子到连续（GRAC）方法[47]，并进一步推广到有限范围相互作用[48]。然而，后来人们注意到基于残差的估计方法计算成本较高，这主要是由于不同尺度模型的晶格和网格不匹配所致。我们最近的努力致力于解决这个问题，并在效率和自适应模拟到更现实的缺陷（如位错和交互空位）方面取得了显著改进[49]。
尽管现有的基于残差的方法可以进一步扩展到更广泛的QC方法和缺陷类型，但这种方法存在一些关键限制。首先，“事后”误差估计器依赖于特定的耦合方案，这导致代码的可重用性较低，从而实现效率低下。其次，估计器的公式通常很复杂，导致实现和计算成本较高。特别是，在多尺度科学和工程中广泛使用的混合QC方法[2]、[32]、[50]、[51]、[52]、[53]中，基于残差的“事后”误差估计在多于一个维度上尚未实现。
本工作的目的是解决上述关键限制。通过基于“残差力”推导误差估计器，我们能够为一般一致QC方法提供统一的“事后”误差估计。然后使用这种统一的误差估计器来设计几种代表性QC方法的自适应算法。这些算法随后被用于对具有实际重要性的几种晶体缺陷进行自适应模拟。具体来说，我们的贡献体现在以下三个方面。
首先，我们基于“残差力”推导出统一的“事后”误差估计器，与之前基于“残差应力”的估计器[24]、[46]、[47]、[48]、[49]不同。基于残差力的估计器不依赖于我们考虑的特定QC方法，并且我们提供了一个理论框架，证明这种估计器可以提供离散H^1范数下真实误差的上界。
其次，我们为一系列QC方法开发了新的自适应算法，这些方法涵盖了从尖锐界面到混合界面、基于能量到基于力的类型。这些算法旨在自动调整连续区域中的网格结构以及原子区域和混合区域的分配。所有自适应算法本质上都基于基于力的统一误差估计器，只需要进行算法调整。我们注意到，基于理论的“事后”误差估计和完全自适应算法（同时考虑网格细化和区域分配）首次在多于一个维度上为广泛使用的混合QC方法[15]、[30]、[54]开发。
第三，我们对各种类型的晶体缺陷（包括裂纹）的自适应模拟中的误差控制策略进行了数值验证，据作者所知，这在QC背景下是首次实现的。自适应模拟表明，所提出的算法能够产生最佳的误差收敛率和（准）最优的域分解。对裂纹的自适应QC方法的系统研究是一项开创性工作，利用了统一的基于残差力的“事后”误差估计器的优点。相反，“事先”分析提出了需要高级技术来有效解决的挑战。这种方法的固有效率和显著的灵活性不仅拓宽了视野，还为研究实际晶体缺陷（如晶界）提供了坚实的基础。
为了确保陈述的清晰性，我们专注于二维中具有有限范围相互作用的原子系统。然而，所提出的统一框架可以潜在地扩展到其他一致的多尺度耦合方案和三维问题。本文最后还讨论了包括其他耦合方案的更高效策略以及扩展到三维中的实际晶体缺陷（如部分位错和晶界）的进一步研究。
本文的结构如下。第2节中，我们介绍了晶体缺陷的数学概念以及原子方法和准连续方法的一般公式。第2.3节还给出了QC方法的“事先”估计和一致性的定义。第3节系统地推导了基于残差的误差估计器，并证明了该估计器可以提供真实近似误差的上界。此外，第3.4节还给出了一种评估局部误差贡献的有效方法。第4节，我们分别基于刚刚推导出的误差估计器，为尖锐界面和混合QC方法开发了自适应算法。我们注意到，用于自适应分配混合区域的算法是首次在文献中提出的。第5节，我们展示了我们考虑的几种晶体缺陷的自适应模拟，并对我们的发现进行了全面的讨论和解释。第6节，我们总结了我们的结果并讨论了可能的未来方向。
我们使用符号?·, ·?来表示Banach空间及其对偶空间之间的抽象对偶配对。符号|·|通常表示欧几里得范数或Frobenius范数，而‖·‖表示算子范数。对于E∈C^2(X)，第一和第二变体分别表示为?δE(u), v?和?δ^2E(u)v, w?，其中u, v, w∈X。对于二阶张量，我们表示为A B A : B : = ∑ i , j A i j B i j
