基于物理知识的神经网络用于逆长度尺度识别和正向相场断裂建模

《Engineering Fracture Mechanics》：Physics-informed neural networks for inverse length scale identification and forward phase-field fracture modeling

提出一种统一的物理信息神经网络（PINNs）框架，用于同时识别相场裂纹模型中的长度尺度参数并预测裂纹演化。该方法通过最小化总势能泛函嵌入局部观测数据，实现无预设参数的正反向建模，采用具有权重继承的离散加载策略确保裂纹演化的不可逆性。数值和实验研究表明该方法相比传统PINNs相场模型在误差降低和性能上均有显著优势。

　　

余梦晨|龙向云|姜超|王晓刚|刘凯

湖南大学机械与车辆工程学院先进车身设计与制造国家重点实验室，中国长沙410082

摘要

本文提出了一种统一的基于物理信息的神经网络（PINNs）框架，用于相场断裂建模，该框架能够同时识别长度尺度参数并预测裂纹演化。该方法通过最小化总势能函数，将局部观测数据嵌入到变分公式中，从而实现无需预先设定参数的逆向参数识别和正向预测。采用了一种具有权重继承的离散加载策略，以确保裂纹演化的不可逆性。通过对单边裂纹板在拉伸和剪切作用下的数值研究，以及3D紧凑拉伸实验，证明了与传统基于PINNs的相场模型相比，该方法具有显著的误差降低和更优越的性能。

引言

断裂是工程结构中最常见的失效模式之一，对结构的安全性和可靠性构成了重大挑战。准确预测断裂行为和评估结构完整性对于防止失效事件和确保工程结构的安全性至关重要。数值说明：粗体符号表示向量分析方法是研究结构断裂的基本工具。目前，断裂的数值模拟方法通常分为离散方法和连续方法[1]。其中，作为代表性的连续建模技术，相场方法近年来受到了广泛关注，并已在断裂力学领域得到广泛应用[2]。

相场方法用于断裂模拟，它是基于格里菲斯断裂理论的变分公式推导而来的。在过去十年中，由于该方法能够在不预先定义裂纹生长准则的情况下模拟裂纹的起始、扩展、分叉和聚合，因此取得了快速进展[3]。通过引入损伤变量，该方法将尖锐裂纹表示为具有有限宽度的扩散区域，从而消除了对复杂裂纹拓扑进行显式跟踪的需要[4]，[5]。在建模过程中，构建了一个平滑的损伤演化函数来模拟材料从完整状态到完全断裂状态的转变，从而能够描述裂纹引起的不连续性[6]。相场变量的演化受到能量最小化原理的支配，并通过变分方法来近似实际裂纹路径[6]。该方法已成功应用于各种断裂现象的建模，包括脆性断裂和疲劳断裂，并在多物理场耦合断裂问题中表现出良好的性能[7]。尽管在相场断裂建模方面取得了显著进展，但传统的数值分析方法在整合实验数据或高保真模拟数据方面存在局限性，这限制了它们预测真实断裂行为的能力。为了克服这一挑战，最近的研究集中在将相场方法与深度学习方法相结合[4]，[8]，[9]。

最近，基于物理信息的神经网络（PINNs）作为一种解决相场断裂问题的有前景的方法出现了[10]，[11]。通过将物理定律嵌入神经网络训练过程中，PINNs能够在不需要基于网格的离散化的情况下求解偏微分方程。Goswami等人[12]将相场方法与PINNs相结合，提出了一种基于能量最小化原理的PINNs基相场断裂模型。在该模型中，神经网络用于近似位移场和相场变量，在一维和二维裂纹扩展问题中达到了与传统方法相当的精度。此后，基于PINNs的相场断裂建模受到了越来越多的关注[5]，[12]，[13]，[14]，[15]。Ghaffari Motlagh等人[14]开发了多种PINN变体，并对其在脆性断裂模拟中的性能进行了比较研究。Manav等人[15]应用深度Ritz方法来学习相场断裂过程，并详细讨论了使用神经网络近似断裂能量所面临的挑战。此外，从PINNs获得的预测结果可以用作更高效替代模型（如深度算子网络）的训练数据，以实现实时断裂模拟[16]。

尽管基于PINNs的相场断裂建模在提高裂纹扩展模拟的计算效率方面取得了显著进展[12]，[15]，[16]，[17]，但开发高保真断裂模型仍然面临重大的理论和计算挑战。准确的建模是可靠预测裂纹行为的前提，是确保工程结构安全性的关键因素。相场模型的准确性高度依赖于控制参数的指定，其中长度尺度参数尤为重要[18]，[19]。然而，大多数现有的基于PINNs的相场方法都使用了预先设定的长度尺度参数[20]，[21]，[22]，目前的研究主要集中在神经网络架构和优化算法上。因此，这些模型在捕捉真实断裂行为方面的可靠性仍然有限。在相场断裂力学的理论框架内，选择合适的长度尺度参数直接影响模型解析局部损伤特征的能力。过大的长度尺度倾向于过度平滑裂纹轮廓，可能会抑制关键的断裂现象，从而导致非物理预测。相反，过小的长度尺度会增加计算复杂性并引起数值不稳定，同时经常产生不现实的载荷-位移响应[3]，[6]，[23]，[24]。最近的理论发展引入了不依赖于长度尺度的相场模型[25]，[26]，这些模型通过引入额外的本构参数（例如等效强度或形状因子）将材料强度与内部长度尺度解耦。然而，在复杂的工程应用中，这些参数通常难以通过标准实验获得[27]。因此，这些模型的预测保真度仍然受到这些先验输入准确性的限制。因此，开发能够同时进行裂纹响应的正向预测和长度尺度参数的逆向识别的有效方法至关重要。将基于物理的约束与实证数据相结合，将显著提高基于PINNs的相场模型在实际工程场景中的适用性和鲁棒性。

本研究介绍了一种方法，该方法将长度尺度参数的逆向识别与基于PINNs的正向相场断裂建模相结合。该方法能够在PINNs结构内同时预测解场和估计关键相场模型参数。通过嵌入物理定律并整合观测数据，神经网络被训练来同时近似位移场、相场变量和模型参数，从而无需密集网格或预先定义的参数值。与传统方法相比，该方法不仅提高了预测精度，还解决了经验选择模型参数的挑战，为PINNs在工程结构断裂分析中的实际应用铺平了道路。本文的结构如下：第2节介绍了相场断裂建模的基本理论。第3节详细介绍了基于PINNs的相场断裂问题中的逆向参数识别和正向建模方法。第4节通过一系列示例验证了该方法的有效性和准确性。最后，第5节对本文进行了总结和讨论。

部分摘录

相场断裂建模

相场断裂模型的一个关键特点是物理界面（例如图1中的裂纹表面Γ）被转换为扩散域，其规则化宽度由长度尺度参数l?控制。相场方法消除了经典断裂力学中对显式裂纹拓扑跟踪的需求，允许自然模拟裂纹的起始、扩展和分叉[15]。引入了一个连续的标量场?来追踪断裂过程

基于PINNs的正向和逆向相场断裂建模

开发了一种基于PINNs的统一方法，用于同时解决相场断裂模型中的正向建模和逆向参数识别问题。如图2所示，所提出的方法将相场断裂问题的正向解与长度尺度参数的逆向识别相结合，使用神经网络架构进行断裂建模。在正向建模阶段，给定材料参数、边界条件和初始裂纹

数值示例

为了评估所提出方法的有效性，首先使用高保真有限元分析建立了一个参考模型，从中提取了位移场和相场的局部观测数据。然后分别对受到拉伸和剪切载荷条件的单边裂纹试样进行了数值验证。随后，使用标准紧凑拉伸（CT）试样进行了实验验证。局部位移场数据是

讨论

本研究提出了一种基于PINNs的统一正向-逆向相场断裂建模方法，能够识别相场模型中的关键参数并构建准确的相场模型。与传统的基于PINNs的相场断裂方法相比，所提出的方法将观测数据与物理知识相结合，以识别长度尺度参数，从而减少了对相场断裂中经验假设值的依赖

CRediT作者贡献声明

余梦晨：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草案，方法论，概念化。龙向云：撰写 – 审稿与编辑，资金获取。姜超：指导，资金获取。王晓刚：指导，研究。刘凯：研究，形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了国家自然科学基金（52175134）、国家自然科学基金（52235005）、湖南省优秀青年科学基金（2023JJ20010）和湖南省科技创新计划（2024RC3097）的支持。