《Ain Shams Engineering Journal》：On Martínez-Kaabar fractal-fractional double Laplace transformation
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本研究为应对复杂物理现象中兼具记忆效应与分形行为的建模挑战，将Martínez-Kaabar分形-分数阶（MKF-F）微积分理论拓展至双Laplace变换领域，提出了创新的MKF-F双Laplace变换。研究人员建立了该变换的基本理论，并成功构建了用于求解各类具有分形效应的非整数阶偏积分-微分方程的变换法，通过算例验证了方法的有效性。这项研究为求解复杂系统的数学物理方程提供了新的理论工具。
在描述现实世界中的复杂动态系统时，科学家和工程师们常常遇到一些棘手的难题：许多物理现象，比如湍流、热传导中的记忆效应，或是经济系统的长期依赖行为，都无法用传统的微积分方程完美刻画。这些现象往往同时表现出两种奇特的性质：一是“分形”特性，意味着它们在各个尺度上展现出相似的、不规则的复杂几何结构；二是“记忆”或“历史依赖性”，即系统的当前状态受到其过去所有状态的影响。为了同时捕捉这两种特性，数学家们发展出了分形-分数阶（F-F）微积分这一前沿分支。然而，面对更加复杂的、涉及多个变量的方程，特别是兼具微分、积分和分形-分数阶效应的偏积分-微分方程（PIDEs）时，求解工具仍显匮乏，这成为了推动该领域发展的关键瓶颈。
为了攻克这一难题，Francisco Martínez和Mohammed K.A. Kaabar两位研究人员，在发表于《Ain Shams Engineering Journal》的论文中，将一种名为Martínez-Kaabar分形-分数阶（MKF-F）的新兴微积分理论与强大的积分变换工具——双Laplace变换相结合，开创性地提出了“MKF-F双Laplace变换”，并成功将其应用于求解各类非整数阶偏积分-微分方程。这项研究的意义在于，它为分析和求解那些描述具有分形结构和长程记忆效应的复杂系统的方程，提供了一个统一且强有力的新数学框架。
为了开展这项研究，作者们主要运用了几个关键的技术方法：首先，他们基于此前提出的多参数MKF-F导数定义，构建了相应的双积分算子；其次，他们将此双积分算子融入经典的双Laplace变换，从而严格定义了MKF-F双Laplace变换及其逆变换；接着，他们系统性地证明了新变换的存在性条件、基本函数变换公式、与MKF-F偏导数的关系以及核心的卷积定理等一系列基础理论；最后，基于这些理论，他们构建了求解F-F偏积分-微分方程的MKF-F双Laplace变换法。整个方法论的核心是理论推导与构建，并通过多个具体的方程求解算例来验证方法的可行性与有效性。
研究结果
2. 预备知识
本节回顾了MK微积分理论的基础。作者首先给出了MK导数（MKDβ,ψ）的定义，它是一个依赖于三个参数（β, ψ, μ）的极限定义，其中β是分数阶阶数，ψ控制尺度因子，μ调整Gamma函数的参数。当β=ψ=1时，该定义退化为经典导数。若函数可微，则MK导数可表示为经典导数与一个含参数和幂函数的系数W(β,ψ,μ)t2-β-ψ的乘积。对于幂函数tμ，其MK导数有简洁表达式，且该结果与文献中基于幂律的Liouville-Caputo型F-F导数结果一致。此外，论文还列出了指数、正弦、余弦等基本函数在特定形式下的MK导数结果。随后，定义了MK积分（MKIβ,ψa）作为带权函数的Riemann积分，并给出了MK微分与积分互为逆运算的基本定理。最后，将MK导数的概念推广到多元函数，定义了关于某个变量的MK偏导数，并介绍了函数空间Cβ,ψp的概念，为后续处理二元函数奠定了基础。
MKF-F双Laplace变换的理论构建
这是本文的核心创新部分。作者定义了一个二元函数u(x,t)的MKF-F双Laplace变换。该变换通过引入一个包含MK双积分算子的核函数，将经典的双Laplace变换推广到分形-分数阶情形。他们随后系统地建立了该新变换的整套理论：证明了变换存在的充分条件；计算了诸如1、eax+bt、sin(ax+bt)等基本二元函数的MKF-F双Laplace变换；推导了新变换与函数u(x,t)的连续MKF-F偏导数（如MKDxβ,ψu, MKDtβ,ψu以及更高阶混合偏导）之间的关系定理，这是将变换法应用于微分方程的关键；建立了重要的卷积定理；并定义了相应的逆变换。
MKF-F双Laplace变换在求解F-F偏积分-微分方程中的应用
基于建立的理论，作者构建了求解F-F偏积分-微分方程的MKF-F双Laplace变换方法。该方法的基本步骤是：对给定的方程施加MKF-F双Laplace变换，利用导数变换定理将方程转化为关于变换后函数的代数方程；求解这个代数方程得到解的变换式；最后通过逆变换求得原方程的解。论文通过三个具体的算例展示了该方法的应用：
- 1.
求解一个简单的F-F偏微分方程。
- 2.
求解一个F-F偏积分-微分方程。
- 3.
求解一个更复杂的、带有非齐次项的F-F偏积分-微分方程。
在每个例子中，作者都清晰地展示了应用变换法的全过程，并得到了方程的精确解，验证了所提出方法的有效性和实用性。
结论与意义
本研究成功地将MKF-F微积分理论与双Laplace变换相结合，提出并完善了MKF-F双Laplace变换这一新的数学工具。通过严格的数学推导，建立了该变换的完整理论体系，包括存在性、基本性质、与导数的关系及卷积定理。最重要的是，研究构建了基于此变换的求解方法，并成功应用于求解几类具有分形效应的非整数阶偏积分-微分方程，获得了精确解。
这项工作的意义重大而深远。从理论角度看，它极大地扩展了积分变换理论的范畴，为分形-分数阶微积分领域增添了新的强有力的分析工具。从应用角度看，它所提供的求解方法，为物理、工程、金融等诸多领域中描述具有记忆效应和分形特征的复杂动态系统的数学模型，开辟了新的求解途径。该研究不仅解决了特定类型方程的求解难题，更重要的是展示了一种将先进微积分理论与经典变换方法相融合的通用框架，为未来处理更广泛的复杂数学物理问题奠定了基础。
