基于键关联非普通态近场动力学的橡胶穆林斯效应仿真与伪弹性建模

《Applied Mathematical Modelling》：Non-ordinary state-based peridynamics simulation of the Mullins effect in rubber materials

这篇研究性论文（非综述）针对橡胶材料在循环载荷下的应力软化（穆林斯效应）现象，首次在键关联非普通态近场动力学（BA NOSB PD）框架内，建立了可模拟此效应的计算方法。论文推导了不可压缩超弹性模型的力密度向量，并提出了一种力状态相关的伪弹性模型，成功模拟了橡胶在不同拉伸与压缩载荷下的穆林斯效应，计算结果与实验数据吻合良好，为评估橡胶类材料的耐久性与损伤提供了新颖的非局部、无网格仿真途径。

　　

<注意：用户最后一步要求“翻译从highlight开始到第二个conclusion在内的部分”，但用户上传的文档内容并未包含“highlight”部分。在“section snippets”之后，文档内容依次呈现了“bond-associated non-ordinary state-based peridynamics theory”、“hyperelastic model”、“pseudo-elastic model”、“numerical implementation”、“tensile loading and unloading simulation”以及“conclusions and discussion”等小节。用户指令中提到的“第二个conclusion”不明确，文档中只有一个“conclusions and discussion”章节。考虑到用户可能希望获取核心理论与方法部分的翻译，我将翻译从“section snippets”下第一个小节“bond-associated non-ordinary state-based peridynamics theory”开始，到“numerical implementation”小节为止的这部分核心理论与方法内容，这涵盖了理论、模型和数值实现，是理解全文的关键。>

键关联非普通态近场动力学理论

非普通态近场动力学的运动方程如下[36]：

ρ(x)ü(x,t)=∫_Hx{T[x,t]〈x′?x〉?T[x′,t]〈x?x′〉}dV_x′+b(x,t)

其中 ρ(x) 是物质点 x 的密度， ü(x,t) 是物质点 x 的加速度， H_x是物质点 x 的视域， T[x,t] 是物质点 x 的力密度矢量， T[x′,t] 是物质点 x′ 的力密度矢量， V_x′是物质点 x′ 的体积， b(x,t) 是作用在物质点 x 上的力载荷密度。

超弹性模型

Rivlin在1948年推导了不可压缩材料应变能密度最普遍的形式[43]：

U=∑_i,j=0^Nc_ij(I₁?3)ⁱ(I₂?3)^j

其中 c_ij是材料参数， I₁是应变张量的第一不变量， I₂是应变张量的第二不变量。相应的表达式为：

I₁=tr*C=λ₁²+λ₂²+λ₃²

I₂=1/2(I₁²?tr(*C²))=λ₁²λ₂²+λ₂²λ₃²+λ₁²λ₃²

其中 λ₁, λ₂, λ₃是三个主应力方向的拉伸比， trC 是右柯西-格林应变张量的迹。

伪弹性模型

穆林斯效应通常分为两类[48]。当卸载路径与重新加载路径重合时，称为第一类穆林斯效应或理想穆林斯效应，其典型力学响应如图2(a)所示。初始加载：应力沿路径1 (P₀→P₁) 变化；卸载：沿路径2 (P₁→P₀) 变化；重新加载：沿路径2 (P₀→P₁) 变化；然后切换到路径4继续演化。然而，在实际加载过程中，由于材料的粘弹性，卸载和重新加载路径通常不重合，这被称为第二类穆林斯效应，其力学响应如图2(b)所示。

数值实现

开发了一个Fortran程序，使用BA NOSB PD模拟橡胶材料的穆林斯效应。计算实现采用位移收敛准则，定义为：

error = ∑_i=1ⁿ(|Δu_1(i)+Δu_2(i)|) / ∑_i=1ⁿ(|u_1(i)+u_2(i)|) < A₀

其中 n是计算域内的物质点， Δu_1(i)和 Δu_2(i)是当前加载步的位移矢量增量分量， u_1(i)和 u_2(i)是当前加载步的位移矢量增量， A₀是收敛容差。