二维六方准晶双材料中三维界面裂纹问题的断裂分析：理论与数值方法新视角

《Applied Mathematical Modelling》：Fracture analysis of 3D interface crack problems in two-dimensional hexagonal quasicrystal bi-materials. Part I: Theoretical formulations

本文利用格林函数和扩展位移不连续（EDD）边界积分-微分方程方法，系统性研究了二维六方准晶（2D hexagonal QC）双材料中的三维界面裂纹问题。理论层面推导了该问题的核心控制方程，揭示了材料性能失配导致的微分项是界面裂纹振荡奇异性场的成因，并为均质材料（非振荡奇异性）和双材料界面裂纹分别定义了扩展应力强度因子（ESIFs）和能量释放率（ERR）。这项工作为准晶（QC）双材料界面断裂行为的定量表征奠定了理论基础，为后续数值模拟（本文第二部分）提供了关键支持。

　　

Section snippets

Basic equations

在忽略体力且考虑声子场（phonon field）与相位子场（phason field）耦合效应的情况下，二维六方准晶在笛卡尔坐标系（x, y, z）中的静力学平衡方程可表达如下：

σ_{ij, j}= 0, H_{kj, j}= 0,

其中，i, j = x, y, z；k = x, y。σ_ij代表声子应力，H_kj代表相位子应力。

Boundary conditions

在三维空间中，两种二维六方准晶材料完美结合，分别占据上半空间和下半空间。建立笛卡尔坐标系（x, y, z），使其oxy平面与界面重合。一个半径为a的圆形币状裂纹位于此界面的中心，如图1所示。裂纹的上、下表面分别标记为S⁺和S^-。考虑一个圆柱坐标系（r, φ, z），其原点与笛卡尔坐标系的原点重合。

EDD boundary integral-differential equations for an arbitrarily shaped planar crack in 2D hexagonal QC bi-materials

考虑oxy平面上一个任意形状的平面裂纹S。裂纹的上、下表面分别记为S⁺和S^-，其对应的外法线向量为：

{n_i}_S+= {0, 0, -1}, {n_i}_S-= {0, 0, 1}.

对于断裂分析，通过将无裂纹解与裂纹扰动解叠加，可以有效地将外部边界载荷转移至裂纹表面。无裂纹解易于求解。众所周知，裂纹表面上的扩展牵引力...

EDD boundary integral equations

当裂纹上、下表面的材料性能相同时，双材料简化为均质材料，我们只需关注上半平面的分析。由于上、下材料相同，可以推断：

∑²_i=1A_1i⁺+ ∑²_i=1A_1i^-= 0 且 ∑³_j=1A_2j⁺+ ∑³_j=1A_2j^-= 0，将方程（19）代入方程（18），相应的边界条件可简化为：

{ ∑²_i=1(A_1i⁺- A_1i^-) = -1/(2π),

∑²_i=1(k_1i⁺A_1i⁺- k_1i^-A_1i^-) = 0,

∑³_j=1(A_2j⁺- A_2j^-) = 1/(2π),

∑³_j=1(k_2j⁺A_2j⁺...

Singularity near the interface crack front

Tang等人分析了三维两相弹性介质中界面裂纹的奇异行为。遵循类似步骤，本文将讨论二维六方准晶弹性双材料中的界面裂纹。

类似于对方程（39）和（40）的处理，方程（35）的超奇异部分在∑区域内应为有限值：

∫_∑(1/r³) [ (3 cos²φ - 1) (L₁₁[u_x] + L_w11[w_x]) + (3 sin²φ - 1) (L₁₂[u_x] + L_w12[w_x])

• •
  cosφ sinφ (L₁₃[u_y] + L_w13[w_y]) ] dS(ξ, η) + 2π L₁₄?[u_z]/?x = F₁(x, y),
  ∫_∑(1/r³) [ (3 cos²φ - 1) (L₁₁[u_y] + L_w11[w_y]) + (3 sin²φ - 1) (L₁₂[u_y] + L_w...

Conclusion

本研究采用格林函数和扩展位移不连续（EDD）边界积分-微分方程方法，分析了二维六方准晶（2D hexagonal QC）双材料中任意形状的界面裂纹。研究表明，控制方程中的微分项源于界面两侧材料性能的失配，并生成了界面裂纹特有的振荡奇异性场。随着介质趋于均质，该微分项的系数变为零。

对于界面裂纹...