三维分段线性受迫振动系统中同宿轨道存在性的严格分析与参数化研究 中文标题

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Existence of homoclinic orbits in three-dimensional piecewise linear forced oscillator systems

本文聚焦于高维非光滑动力系统中同宿轨道的存在性证明这一挑战性难题。作者针对一类三维连续分段线性受迫振动系统，基于半Poincaré映射与不变流形理论，严谨地建立了连接鞍焦平衡点的Shilnikov型同宿轨道存在的一般条件，并通过数学分析和符号计算，给出了其存在的精确参数分析，辅以数值模拟验证了结果的正确性。这项工作在理论上有所突破，并对相关应用领域具有启发意义。

　　

亮点 (Highlights) (从文档内容看，原文并无“Highlight”字样的小标题，此处根据您的指令，假定从“Introduction and main results”开始，并对应翻译“Section snippets”中的各个小节。由于您要求翻译“从Highlight开始到第二个Conclusion”，而文中无“Highlight”及“Conclusion”小节，只有“Introduction and main results”、“Geometric configuration”、“The existence of homoclinic orbits to E_-”、“Numerical simulations”、“Summary and outlook”，因此将为您翻译从“Introduction and main results”到“Summary and outlook”的全部内容。)

简介与主要结果 (Introduction and main results)

同宿轨道 (homoclinic orbits) 是动力系统中一类有界的轨道，当时间t趋近于正负无穷 (±∞) 时，它们会渐近地趋向于同一个平衡点。从开创性的工作可知，同宿轨道能够引发极其丰富的动力学现象。毫无疑问，作为非线性科学中一个非常有趣的现象，同宿轨道已引起了广泛的关注，并应用于生物学、信号发生器、机械工程和混沌安全通信等多个领域。

几何结构 (Geometric configuration)

在本节中，我们提供了在系统(6)的负半空间{x<0}、正半空间{x>0}局部包含的不变流形的基本几何构型，同时还获得了切换平面{x=0}上的流，见图3。

通向E_-的同宿轨道存在性 (The existence of homoclinic orbits to E_-)

基于第2节中系统(6)的两个子系统的几何结构，我们为连接鞍焦平衡点E_-的同宿轨道的存在性提供了分析证明。显然，如果系统(6)有一条通向E_-的同宿轨道，它必须在两个点处横截穿过{x=0}平面，其中一点必须是m_-，另一点是H?_-上的M_-。这样，一条完整的同宿轨道可以由三段组成：

Γ₁：第一段由通过点m_-的负向轨道构成。

数值模拟 (Numerical simulations)

本节，我们提供定理1的一些数值模拟示例，参见图2(a)-(f)。我们以c=1.25的情况为例，详细介绍同宿轨道的存在性及其三段。在此情况下，在参数λ=λ_h-=0.732044687下，系统(6)可写为：

当x≥0时，? = y, ? = z, ? = 1 - y - 0.4055567998z - 1.341673293x；

当x≤0时，? = y, ? = z, ? = 1 - y - 0.4055567998z + 1.341673293x。

上述系统中正负子系统的平衡点为两个鞍焦E_±= (±0.7453379338, 0, 0)。

总结与展望 (Summary and outlook)

本文通过严格的分析证明和符号计算，专注于在一个由两个子系统组成的三维分段线性受迫振动系统中同宿轨道的存在性。值得注意的是，本文研究的系统满足与文献[21]一致的Shil'nikov假设和非Shil'nikov假设。同时，我们可以放宽文献[21]中的限制，即在假设λ>0足够小且δ∈(0, 1.3]的情况下。此外，Shil'nikov提供了...