《Case Studies in Thermal Engineering》：Thermo-bioconvective transport in an oxytactic microorganisms-laden cavity
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本研究针对含嗜氧微生物的多孔方腔，采用Cattaneo–Christov热通量模型和Darcy流模型，探究了热与质量传递特性。研究人员通过有限元法求解控制方程，分析了Lewis数、Péclet数、Rayleigh数和生物对流Rayleigh数等关键参数对流动、温度、氧浓度及微生物分布的影响。研究结果显示，微生物的存在可提升传热效率，Péclet数增大可显著增强流动强度，而松弛参数的增大会抑制对流。该工作为优化多孔介质中的传热与生物对流过程提供了有价值的见解，尤其在涉及微生物活动的生物及生态系统中具有重要意义。
在自然界和众多工程应用中，例如生物反应器、地下水修复、多孔生物医学支架内的营养-氧气输运等，多孔介质中由温度梯度和微生物活动驱动的复杂流体行为无处不在。理解这些系统中热量、质量和微生物的耦合输运过程，对于优化系统性能至关重要。传统的传热分析多基于Fourier定律，它假定热通量对温度梯度的响应是瞬时的。然而，在许多涉及快速变化或微观尺度效应的实际过程中，热传递具有“记忆”或弛豫效应，传统的模型可能无法准确描述。另一方面，某些微生物（如嗜氧微生物）能够主动地向氧气浓度更高的区域游动，它们的聚集和运动本身会产生一种被称为“生物对流”的宏观流动，这反过来又会影响热和质量的分布。当这些微生物存在于多孔介质（如土壤、生物膜或人造多孔结构）中时，问题变得更加复杂：孔隙结构会阻碍流动，改变传热传质路径，而温度梯度和微生物的趋氧行为又会驱动新的流动模式。那么，一个核心的科学问题随之浮现：在考虑热传递非瞬时效应（即有限弛豫时间）的前提下，多孔腔体内由温度差和嗜氧微生物共同驱动的热-生物对流传输过程究竟如何？关键参数如流动强度（Péclet数）、浮力效应（Rayleigh数）、微生物活动强度（生物对流Rayleigh数）以及热弛豫时间，将如何塑造腔体内的流场、温度场、氧气分布和微生物浓度？这不仅是揭示多孔介质内复杂物理-生物耦合过程的基础理论问题，也对设计高效的生物反应器、理解环境微生物输运、乃至开发新型的生物热能系统具有直接指导意义。
为了回答这些问题，由Muhammad Sabeel Khan等人组成的研究团队在《Case Studies in Thermal Engineering》上发表了一项研究。他们构建了一个二维多孔方腔物理模型，腔体左侧为热壁，右侧为冷壁，上下壁绝热，腔内充满含有嗜氧微生物的流体。研究采用了经典的Hillesdon和Pedley嗜氧微生物连续介质模型，并引入Cattaneo–Christov热通量模型来修正能量方程，以考虑热弛豫效应。流动采用Darcy定律描述，并应用Boussinesq近似。控制方程组包括连续性方程、动量（Darcy）方程、改进的能量方程、氧气守恒方程和微生物细胞守恒方程。研究人员利用基于Galerkin加权残差法的有限元法对这些高度非线性的控制方程进行了数值求解。通过流线、等温线、浓度等值线以及关键参数如平均Nusselt数（Nuavg）和平均Sherwood数（Shavg）的定量分析，系统探究了Lewis数（Le）、Péclet数（Pe）、热Rayleigh数（Ra）、生物对流Rayleigh数（Rb）以及热弛豫参数（λ2）等一系列无量纲参数对系统内热、质及微生物输运特性的影响。
2. 数学建模
研究首先建立了完整的数学模型。考虑一个边长为H的二维多孔方腔，其左右壁面分别保持恒定温度TH和TC（TH> TC），上下壁面绝热。腔内充满含有嗜氧微生物的悬浮液，重力沿负y轴方向。模型基于Hillesdon和Pedley的连续介质模型，并引入了由温度变化产生的浮力项。采用Boussinesq近似，并因生物对流流速较低而忽略惯性项。控制方程包括连续性方程、动量（Darcy）方程、引入了Cattaneo–Christov热弛豫的时间相关能量方程、氧气守恒方程以及细胞（微生物）守恒方程。其中，细胞通量包括流体宏观运动、微生物趋氧性定向游动和随机扩散三部分。通过引入特征尺度，如腔体高度H、热扩散时间H2/αm等，将控制方程无量纲化，得到了以Prandtl数（Pr）、Darcy数（Da）、Lewis数（Le）、Péclet数（Pe）、热Rayleigh数（Ra）、生物对流Rayleigh数（Rb）和热弛豫参数（λ2）为关键参数的无量纲方程组及相应的边界条件。
3. 数值方法
研究采用基于Galerkin加权残差法的有限元法对控制方程进行数值求解。具体步骤包括：推导控制方程的弱形式，将求解域离散为三角形单元，在单元上使用二次插值函数近似速度和线性插值函数近似压力，构建非线性代数方程组，并采用牛顿-拉夫森迭代法进行求解，直至满足收敛准则。所有计算均在开源有限元软件FreeFEM++中实现。
4. 结果与讨论
研究通过可视化的流线、等温线、氧浓度和微生物浓度分布图，以及定量的平均Nusselt数（Nuavg）和平均Sherwood数（Shavg），详细展示了各参数的影响。
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Péclet数（Pe）的影响：Pe数表征流动强度（对流与扩散之比）。研究发现，随着Pe数从0.1增加到13，流函数最大值增大约44.2%，表明流动强度显著增强。同时，Pe数从1增至29会导致最小氧浓度下降约16.1，说明在高Pe数下，对流主导的输运加剧了氧气的消耗和分布不均。
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热弛豫参数（λ2）的影响：λ2表征Cattaneo–Christov模型中的热弛豫时间效应。当λ2从0增加到2.55时，流函数最大值减少了41.3%。这表明热弛豫效应会显著抑制对流强度，因为热通量的响应延迟削弱了由温度梯度驱动的浮力流。
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微生物存在的影响：研究比较了有微生物和无微生物两种情况。结果表明，微生物的存在改善了传热。在低Prandtl数下，Nusselt数增加约15%–20%，而在高Prandtl数下增加超过30%。这揭示了热分层与生物对流之间存在协同效应，微生物的运动增强了混合，从而提升了传热效率。
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生物对流Rayleigh数（Rb）的影响：Rb数表征微生物密度差异产生的浮力效应。增大Rb数会增强由微生物聚集驱动的生物对流，从而改变流场结构，影响热量和质量传递的空间分布。
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氧消耗参数的影响：氧消耗参数反映了微生物对氧气的消耗速率。该参数增加会导致腔内最小氧浓度下降约12.9%，表明在塑造腔内氧气分布方面，消耗过程相比扩散过程占主导地位。
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侧壁传热传质分析：研究还计算了热壁和冷壁的局部及平均Nusselt数和Sherwood数。结果表明，这些参数受Rb、Pe和λ2的显著影响。例如，增加Rb或Pe数通常会增强壁面传热，而增加λ2则会减弱壁面传热。
5. 结论
本研究成功数值模拟了采用Cattaneo–Christov热通量模型的、含嗜氧微生物多孔方腔内的热-生物对流传输过程。主要结论如下：首先，Péclet数（Pe）的增大会显著增强流动强度，但也会导致更严重的氧气耗竭。其次，热弛豫参数（λ2）的增大对对流强度有显著的抑制作用，凸显了在预测涉及快速变化或微观生物系统的传热时考虑有限热传播速度的重要性。第三，嗜氧微生物的存在通过生物对流运动增强了热混合，使Nusselt数显著提升，尤其是在高Prandtl数条件下。第四，生物对流Rayleigh数（Rb）是控制生物对流涡结构和强度，进而影响传热传质空间不对称性的关键参数。最后，氧气消耗速率是决定腔内氧气分布形态的主导因素，其影响超过扩散作用。
这项研究的意义在于，它首次系统探究了热弛豫效应在含嗜氧微生物多孔腔体热-生物对流过程中的作用，定量揭示了关键物理参数之间复杂的非线性相互作用。研究结果为了解多孔介质中热量、氧气和微生物的耦合输运机制提供了新的视角，所建立的模型和获得的数据对于优化一系列工程和生物系统具有参考价值，例如涉及微生物的废水处理生物反应器、地下环境中的生物修复过程、以及组织工程中用于细胞培养的多孔支架内的营养和气体输运设计。通过阐明弛豫时间、微生物活动与多孔结构之间的 interplay，该工作为相关领域的进一步研究和应用奠定了理论基础。
