对PINNs（光电集成网络）的建模方法及变量依赖权重优化策略进行了系统的比较分析

《Chaos, Solitons & Fractals》：A systematic comparative analysis of modeling methods and variable-dependent weight optimization strategy for PINNs

登革热传播动力学建模中，构建了ODE、FDE和离散三种模型，提出变权重优化策略（VDWOS）并验证其优于传统策略（TWOS），通过LSTM网络预测时变参数β(t)与实际数据高度吻合。灵敏度分析表明模型参数对系统响应敏感，但FDE模型结果与ODE/离散模型差异显著。研究揭示了不同模型在稳定性分析和数值模拟中的特性差异，为传染病预测与防控提供模型选择依据。

　　

杨杰|彭静|拉姆赞·亚西尔|唐三义|楼杰

上海大学数学系，上海，200444，中国

摘要

登革热是一种由蚊子传播的传染病，对公共卫生和安全构成重大威胁。建立最合适的数学模型并估计最可靠的参数以模拟疫情和量化控制措施至关重要。因此，构建了常微分方程（ODE）模型、分数阶微分方程（FDE）模型和离散模型。分别使用三种参数估计方法（PINNs/fPINNs/Euler-PINNs）对这三种模型进行参数估计，数据来源于新加坡。本文提出了一种新的变量依赖权重优化策略（VDWOS），并将其与传统的权重优化策略（TWOS）进行了比较。从理论分析来看，两者存在本质差异：当ODE/FDE模型的地方平衡状态全局渐近稳定时，离散模型可能会出现翻转分岔，从而导致稳定性破坏。在数值模拟中，通过比较TWOS和VDWOS对三种模型的应用结果，发现VDWOS能够获得更可靠的参数以及随时间变化的参数$\beta (\mathrm{t<mo>)</mo>}$，而无需特定的函数假设。此外，还应用了LSTM网络来预测VDWOS得到的$\beta (\mathrm{t<mo>)</mo>}，预测结果与测试数据高度一致。同时，通过敏感性分析发现，基于模型的数值重建解决方案表现出显著的响应性，这是神经网络无法实现的。然而，ODE模型和离散模型在具体数值结论上表现出高度一致性，而FDE模型则得出了显著不同的结果。本研究为传染病预测和预警、害虫控制以及肿瘤治疗领域的模型选择问题提供了宝贵的见解。$

引言

传染病动态模型的预测能力在多次全球性传染病暴发中发挥了关键作用，包括2003年的SARS疫情、2009年的H1N1大流行和2019年的COVID-19大流行。数学模型已成为快速风险评估、决策支持和分析重大公共卫生紧急响应机制的主要研究工具。常见的传染病模型包括常微分方程模型[1]、分数阶模型[2]、离散模型[3]和偏微分方程模型[4]等。

自Kermack和McKendrick[5]在1927年提出基础的SIR隔离模型以来，常微分方程传染病模型的研究一直在不断发展。出现了许多扩展模型，如SIR[6]、SIRS[7]、SEIR[8]、SEIRS[9]、[10]、[11]、SIQR[12]和SVIR[13]。这些模型由于其相对简单的结构、易于解释的参数和便捷的计算优势，至今仍是描述疾病传播最常用的核心工具。它们特别适合快速评估疫情趋势、进行理论分析（如计算基本再生数$R_0$）和预测疫情高峰时间。然而，这些模型主要基于人口均匀混合的假设。当人口分布不均匀或个体接触模式存在显著差异时，它们的适用性将受到限制[14]、[15]。

此外，微分方程是建模传染病的重要工具。其应用源于早期生态学（例如描述具有离散世代的昆虫种群的模型）。在传染病研究中的优势主要体现在两个方面。首先，流行病数据（如每日新增病例数、每周康复人数）通常在固定时间间隔内收集，微分方程的结构自然与这些离散时间点相匹配，便于直接拟合和分析。其次，控制措施（如封锁和疫苗接种）通常在离散时间点实施和调整。相比之下，微分方程可以动态更新不同时间段的参数，准确模拟政策的阶段性效果[16]、[17]。

常微分方程（ODE）模型中的整数阶导数是局部算子。相比之下，分数阶导数是非局部算子，其核心特征是能够描述系统的记忆效应或长程依赖性[18]、[19]、[20]。在传染病建模中，这一特性使其能够描述诸如潜伏期存在显著异质性（非指数分布）、感染性随时间的复杂非指数衰减模式，或过去流行病经验对个体/群体行为决策的影响（记忆）[21]等情况。与传统ODE模型假设的指数分布康复时间相比，分数阶模型可以更灵活地拟合接近实际的固定康复时间或其他复杂分布。因此，研究人员提出分数阶模型可能为具有记忆效应的传染病动态提供更合理的框架[22]、[23]。然而，分数阶模型的数学研究更为复杂，其求解、参数估计和物理解释都面临挑战，通常需要先进的数值方法。因此，只有在有足够数据、明确证据或强有力的理论基础表明系统表现出显著的长记忆/非局部效应时，才会考虑采用这类模型，以提高模型的真实性。

各种建模方法各有优势，适用于不同的场景。因此，在建模过程中必须仔细评估选择最合适的建模方法。影响模型准确性的核心因素包括模型的科学性质、结构复杂性、未知参数的数量以及关键参数拟合算法的先进程度。传染病建模的核心难点在于使用历史数据准确估计未知参数，因为这些参数对于揭示疾病的生物学特征、预测疫情趋势和评估控制措施至关重要。因此，参数拟合算法的质量直接决定了模型预测结果的可靠性和实际价值。

有许多方法可用于估计传染病模型中的参数。最小二乘法通过最小化观测数据与模型预测之间的残差来拟合参数[24]。然而，它对异常值和噪声敏感，且无法有效处理模型不可识别性问题。贝叶斯推断和神经网络也是常用的方法[25]、[26]、[27]。然而，基于标准马尔可夫蒙特卡洛（MCMC）的贝叶斯推断在存在不可识别性时往往难以收敛到目标后验分布，可能产生置信区间不可靠的参数估计。近年来，基于物理信息的神经网络（PINNs）及其扩展形式——分数阶物理信息神经网络（fPINNs）[28]和欧拉物理信息神经网络（Euler-PINNs）[29]提供了一种新方法。这些方法的核心思想是将描述物理定律的（常微分/分数阶微分）方程作为约束纳入神经网络的训练过程中。训练好的网络不仅需要拟合观测数据，还需要满足控制方程。这使得它们能够同时解决数据匹配的正向问题和从数据中学习方程参数的逆问题，特别是在方程中没有显式函数形式的情况下，特别适用于学习随时间变化的参数。这些深度学习方法已成功应用于疾病传播动态模型的参数估计[30]、[31]、[32]、[33]、[34]。还有许多针对其他方面的PINNs变体[35]、[36]。

接下来，以登革热作为研究对象，分别构建常微分方程模型、分数阶模型和离散模型。然后，从稳定性和数值分析的角度分析它们之间的相似性和差异性，揭示各种模型在描述登革热传播过程中的异同。本文的结构包括登革热的背景信息，使用相同的问题表述、建模框架和数据基础。分别构建了常微分方程模型、分数阶模型和离散模型，并从理论角度比较了这三种模型之间的相似性和差异性。第三部分使用了2012年至2017年新加坡每周确诊的登革热病例数据，重点研究了PINNs、fPINNs和Euler-PINNs逆问题的权重优化策略。首先使用传统的权重优化策略，然后应用本文提出的新变量依赖权重优化策略来拟合这三种模型的数据，估计与疾病传播相关的重要未知参数，并比较和分析两种策略下的模型参数拟合结果。其次，变量依赖权重优化策略下的参数预测和敏感性分析获得了更好的拟合结果。最后，从数值模拟（参数拟合、预测和敏感性）的角度分析了这三种模型之间的相似性和差异性。第四部分是对整篇论文的总结和讨论。

章节片段

常微分方程模型、分数阶模型和离散模型的构建与稳定性分析

登革热是一种由四种抗原相关但不同的登革病毒血清型（DENV-1至DENV-4）引起的蚊媒传染病。其传播动态受到抗体依赖性增强（ADE）和血清型特异性免疫的影响。ADE意味着先前登革病毒感染的抗体不会中和新感染，反而会增强新感染。血清型特异性免疫意味着感染一种血清型可以提供终生免疫

用于PINNs、fPINNs和Euler-PINNs逆问题的变量依赖权重优化策略

由于蚊子的存在以及适合病毒传播的环境条件，登革热在新加坡已成为地方性流行病[47]。尽管新加坡在登革热的预防和控制方面做出了显著努力，但仍容易爆发疫情，在过去十年左右的时间里经历了多次疫情[48]。本章选择了2012年至2017年新加坡每周确诊的登革热病例数据，这些数据有三个高峰

讨论

在科学研究中，为同一问题构建不同类型的模型是一种常见做法。这不仅反映了问题的复杂性，也展示了研究视角的多样性。然而，当不同模型具有相同的问题表述、建模框架和数据基础时，它们在理论特征和数值性能上的差异和相似性具有更大的比较价值。在这种严格可比的条件下，

CRediT作者贡献声明

杨杰：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件开发、调查、形式分析、数据整理、概念化。彭静：撰写——审稿与编辑、验证、形式分析。拉姆赞·亚西尔：撰写——审稿与编辑。唐三义：撰写——审稿与编辑、监督。楼杰：撰写——审稿与编辑、验证、监督、资源管理、项目协调、资金筹集、形式分析、概念化。

资助

作者们没有从任何组织获得提交工作的支持。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本工作得到了上海大学大规模数值模拟计算共享平台的支持。