忆阻器被视为继电阻器、电容器和电感器之后的第四种基本电路元件[1]、[2]、[3]、[4]。它们具有低功耗、可调电阻、非易失性存储、纳米级尺寸以及与标准CMOS制造工艺兼容等优点。忆阻器超越了新型电路元件的角色，其内在的非线性和非易失性存储为模拟复杂动态系统和突触可塑性提供了物理基础，因此成为神经形态计算和非线性系统研究中的关键组成部分。Chua通过将忆阻器与局部活性理论相结合，进一步扩展了忆阻器的概念，引入了局部活性忆阻器[5]。这类器件在特定的工作电压或电流范围内可以表现出负微分电阻或负微分电导，从而能够放大微弱输入信号。这种能力被认为是产生复杂动态行为的基本物理机制[6]。局部活性对于忆阻器在模拟生物突触中的应用至关重要。众所周知，突触是局部被动非易失性忆阻器[7]、[8]。这类忆阻器是模拟记忆和学习的基本构建模块。然而，与局部被动忆阻器相比，LAM能够更真实地模拟生物突触，因为它们在信号处理、动态特性和能量模式方面更接近生物突触的活跃调节机制。忆阻器的局部活性使它们能够在特定偏置点下放大信号，从而不仅能够存储突触权重信息，还能够积极参与信号处理。这种局部放大信号的能力使得忆阻器不仅能够存储突触权重，还能够积极参与信号传输和处理。因此，局部活性为模拟关键的神经生物学机制（如兴奋与抑制之间的平衡以及阈值驱动的放电行为）提供了必要的物理基础，并支持了复杂形式的突触可塑性和多样化神经动态的出现[9]、[10]。
自突触是大脑中独特且普遍存在的微尺度连接结构，指的是神经元轴突末端与其自身树突或胞体之间的突触连接。它们广泛分布于大脑的多个区域，包括皮层、海马体和小脑。作为基本的局部反馈回路，自突触在调节神经元兴奋性、同步性和放电模式方面起着关键作用，从而为神经元自我调节和动态稳定性提供了内源性机制。这种内在的反馈机制表明，要深入剖析复杂的大脑功能（如信息处理和动态稳定性），必须将能够模拟这种自我调节效应的组件或连接纳入神经元模型中。近几十年来，已经建立了许多数学模型来模拟生物神经元的电生理行为，包括Wilson模型、Hodgkin Huxley模型、Izhikevich模型和Hindmarsh–Rose（HR）模型，每个模型都为探索神经元动态提供了理论框架[11]。其中，HR神经元模型因其相对简洁的表述和再现丰富神经元放电行为的能力而得到广泛接受，为进一步发展包含自突触反馈机制的扩展模型奠定了基础。基于这些工作，研究人员进一步引入了局部活性忆阻器作为关键组件，将其嵌入神经元模型或网络连接中以模拟复杂的突触调节机制，包括自突触连接。Mou等人开发了一种新型局部活性忆阻器模型，并将其应用于FitzHugh Nagumo（FHN）和HR神经元，从而构建了一个简单的神经元网络来模拟神经元间的连接以及信息从FHN神经元到HR神经元的方向传输[12]。Bao等人设计了一个简单的无自连接离散HNN，其中包含两个具有正弦和双曲正切激活函数的异构神经元。通过理论和数值分析，他们证明了这个最小模型可以生成具有高随机性的多重超混沌吸引子[13]。Wan等人在复杂的电磁环境中建立了一个忆阻式Hopfield神经网络模型，通过引入一种新型局部活性忆阻器作为突触自突触连接，其中电磁辐射效应通过二次非线性忆阻器来描述[14]。Lai等人提出了一种通过缩放忆阻式电磁辐射组件和神经元连接来增强神经网络动态的通用方法，从而生成具有丰富动态行为的多样化网络[15]。
多滚态吸引子表现出对初始条件高度敏感的混沌特性，在研究复杂的神经元电活动方面具有显著价值。这些吸引子对应于相空间中的多种演化轨迹，可以解释神经元在不同刺激强度下的多模态放电特征，如周期性振荡、爆发模式和混合放电模式——从而为实际神经元观察到的行为提供了更符合生理学的动态表示。此外，它们更复杂的动态行为和不可预测性[16]使它们特别适合于图像加密等相关领域[17]、[18]。基于上述优势，能够生成多滚态吸引子的忆阻式神经系统引起了研究人员的广泛关注。Wang等人提出了一种具有可编程忆阻式自连接突触的Hopfield神经网络家族，能够生成多种多滚态混沌吸引子，包括单向、网格和空间模式[19]。Gonzalez等人引入了一种基于多滚态混沌忆阻式Hopfield神经网络的多PRNG现场可编程门阵列实现[20]。Huang等人提出了一种基于忆阻器的Hopfield神经网络，通过多级逻辑脉冲调制生成和控制网格多滚态吸引子[21]。Yu等人开发了一种基于非多项式忆阻器的Hopfield神经网络，将多滚态生成与多项式项解耦。该框架支持由Lyapunov稳定性保证和自适应同步支持的灵活吸引子控制[22]。
目前，多滚态神经网络或神经元通常是通过引入具有复杂多项式或嵌套复合函数的忆阻器作为突触元件来构建的[23]、[24]、[25]。然而，随着滚态数量的增加，这些函数变得越来越复杂，导致数学公式更加复杂，实现成本也更高。这种复杂性导致模拟电路结构笨重，数字离散化也更加困难。因此，开发更简单、更高效的方法来在忆阻式神经系统和忆阻式神经元系统中生成多滚态吸引子仍然是一个有价值且具有挑战性的研究方向。在这方面，二阶忆阻器提供了一种有前途的替代方案，可以以降低的结构复杂性实现复杂的动态行为。由于引入了额外的内部状态变量，它们能够表现出更丰富的非线性响应和更复杂的记忆特性，显著拓宽了可获得的动态状态的多样性[26]、[27]、[28]。这种增强的动态特性使得通过相对简单的系统架构出现多滚态混沌吸引子成为可能，从而减少了过于复杂的数学公式的需求，并使得忆阻式神经网络在模拟和数字领域的实现更加高效。
为了解决上述问题，本文提出了一种基于二阶忆阻器的自突触HR神经元模型，该模型能够生成多滚态混沌吸引子。值得注意的是，模型产生的滚态数量直接由其内部参数决定，而不依赖于复杂的多项式表达式或多个嵌套函数。本工作的主要贡献和创新总结如下。
(1) 提出了一种具有双状态耦合的二阶忆阻器模型，其中正弦和非线性共同控制内部动态。此外，一系列分析证明了其非易失性和局部活性特性。
(2) 通过将二阶忆阻器与HR神经元模型耦合，建立了一个SOMAHR模型。分析了不同条件下的SOMAHR模型的放电模式，并对其动态特性进行了彻底研究。此外，还设计了一个电路来验证SOMAHR模型的可行性。
(3) 当受到外部刺激时，SOMAHR模型产生了一个扩展系统，称为SOMAHR-S，该系统表现出独特的混沌放电模式。这种模式在相空间中表现为多滚态吸引子，其滚态数量由外部刺激的频率决定。
本文的结构如下。第2节描述了二阶忆阻器模型。第3节研究了SOMAHR的动态行为和放电模式。第4节介绍了能够生成多滚态吸引子的SOMAHR-S。第5节总结了整个工作。
