针对微生物发酵过程结构模型失配的鲁棒经济模型预测控制：一种深度库普曼模型误差模型方法

《Chemical Engineering Science》：Robust EMPC for the microbial fermentation process with structural model-plant mismatch: A deep Koopman model-error model method

本文针对微生物发酵过程中存在的结构模型失配(Model-Plant Mismatch)难题，提出一种结合深度库普曼(Deep Koopman)与多阶段经济模型预测控制(EMPC)的鲁棒优化策略。该方法将未知非线性动态映射为线性空间，构建模型误差模型(MEM)，并通过基于场景树的鲁棒EMPC在线调整控制决策。案例研究表明，该方案显著提升了青霉素(Penicillin)发酵过程的经济性能、控制精度与资源利用率，为复杂生化系统的自动化与智能控制提供了有效解决方案。

　　

亮点

本文的亮点如下：

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  1. 1.
     引入了深度库普曼方法，将非线性未建模的发酵动力学嵌入到线性表示空间，构建了一个模型误差模型(MEM)来处理结构模型失配。在线应用时，只需更新库普曼算子而无需调整整个网络，显著降低了计算复杂度并提高了实时性。
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  1. 2.
     为了准确描述不确定条件下未建模动力学的未来演化，我们结合标称模型和MEM，构建了代表生产目标的标称和极端实现场景树。场景树节点用于表示MEM在不确定性下捕获的多种可能性，全面说明了系统动力学的多样性和复杂性。
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  1. 3.
     我们利用深度库普曼模型描述未建模动力学，并利用场景树的多阶段特性来捕捉不确定条件下系统的未来演化。通过对模型误差模型的实时调整，实现了发酵过程在线预测控制的动态决策调整。

深度库普曼模型误差模型

微生物发酵过程的未知非线性动力学描述为：

?(t)=f_m(x(t), u(t))，

其中 f_m是未知的、连续可微函数。在本文中，时间 t ≥ 0。z(t) ∈ R^n_z是时间 t 时的被控对象状态，n_z是被控对象状态的数量。u(t) ∈ R^n_u是时间 t 时的控制输入，n_u是控制输入的数量。被控对象的标称模型为 f_m：

?(t)=f_m(x(t), u(t))，

其中 x(t) ∈ R^n_x是模型状态，n_x是模型状态的数量。假设所有状态均可测量，因此标称模型状态 x 与被控对象状态 z 的维度相同，即 n_x= n_z。结构模型失配定义为 Δf：

Δf(z(t), u(t)) = f_t(z(t), u(t)) - f_m(z(t), u(t))。

因此，真实系统动力学可表示为标称模型与模型误差的动态之和：

?(t) = f_m(z(t), u(t)) + Δf(z(t), u(t))。

模型误差 Δf 代表了由于结构差异导致的未建模动态。我们的目标是通过数据驱动的方法学习这个误差项，以补偿模型失配。

基于DKMEM的鲁棒EMPC

基于场景树的多阶段EMPC是一种鲁棒的EMPC策略。通过考虑多个可能的系统行为路径，包括不同的外部扰动和模型参数变化，场景树对系统的复杂性和不确定性进行了全面的建模。每个场景对应一个阶段，在每个阶段，场景树都可以根据当前的观测结果和先前的控制决策动态调整其分支，以适应实际系统行为的多样性，从而实现对不确定性的非保守和自适应处理。考虑到模型误差 Δf 引入的不确定性，我们构建一个场景树，其中每个节点代表 Δf 在特定预测时间步的可能实现。具体来说，我们利用深度库普曼模型来生成模型误差的动态预测，并以此形成场景树的分支。在预测时域内，对于每个节点，控制器求解一个优化问题，其目标是在满足过程约束的前提下，最大化经济性能指标（例如，终端产物浓度）。该优化问题同时考虑所有可能场景（即场景树的所有分支）下的控制序列，并保证在“最坏情况”实现下仍满足约束。这种多阶段决策框架允许控制器根据未来的观测信息（即，随着发酵进行，对模型误差的更准确了解）调整后续的控制动作，从而在鲁棒性和经济性之间取得平衡。

青霉素发酵过程描述

所提出的基于DKMEM的鲁棒EMPC方法应用于青霉素生产过程，目标是在批次结束时最大化青霉素的产量。为了建立DKMEM生成实验数据，并模拟鲁棒EMPC在真实生产中的在线使用，本文使用Bajpai和Reu? (1980)建立的过程模拟器来描述实际过程。该模拟器描述如下：

dX(t)/dt = (μ_XS(t)X(t) / (K_XX(t) + S(t))) - (X(t)/V(t)) * (dV(t)/dt),

dP(t)/dt = (μ_PS(t)X(t) / (K_PX(t) + S(t))) - (P(t)/V(t)) * (dV(t)/dt),

dS(t)/dt = -(μ_X/Y_X/S+ μ_P/Y_P/S) * (S(t)X(t) / (K_XX(t) + S(t))) + (F_in(t)C_Sin- S(t)F_out(t)) / V(t),

dV(t)/dt = F_in(t) - F_out(t)。

其中，X 是生物质浓度，P 是青霉素浓度，S 是底物浓度，V 是发酵罐体积。μ_X和 μ_P分别是生物质生长和青霉素生产的最大比生长速率。K_X和 K_P是饱和常数。Y_X/S和 Y_P/S是得率系数。F_in和 F_out分别是进料和出料流速，C_Sin是进料中的底物浓度。控制输入 u(t) 为进料流速 F_in(t)。标称模型基于上述方程，但实际过程（模拟器）的参数可能与标称值存在偏差，并且可能包含未包含在标称方程中的动态（如传质限制、细胞代谢状态变化等），这些构成了结构模型失配 Δf。

结论

本文中，我们解决了因未建模动态引起的结构模型失配下微生物发酵产物的预测控制问题。我们提出了一种带有深度库普曼模型误差模型的鲁棒经济模型预测控制方法。仿真结果验证了深度库普曼方法在建模未建模动态方面的有效性，提高了控制器所用模型的准确性。与一般的EMPC相比，所提出的鲁棒EMPC方法结合了场景树和多阶段优化，在处理由模型误差引起的不确定性方面表现出更强的鲁棒性，确保了控制策略在不确定条件下的可行性、稳定性与经济性能。该方法不仅提高了青霉素发酵的终端产量和资源利用率，也为处理其他具有复杂非线性与不确定性的生化反应过程提供了新的思路。未来的工作将探索该方法在多阶段生产优化和更广泛的复杂动态系统控制中的应用。