: 高维扰动与非线性动力学：广义时滞KP-MEW方程中任意高阶非线性项下的周期波与孤立波存在性研究

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Periodic and solitary waves in a generalized delayed KP-MEW equation with arbitrarily high-order nonlinearity

本文聚焦于一类含两种分布时滞和任意高阶非线性项的广义时滞KP-MEW-Burgers方程。研究运用几何奇异摄动理论(GSPT)将高维动力系统约化为近哈密顿平面系统，结合分岔理论与梅利尼科夫(Melnikov)方法，严格证明了在特定波速下周期波与孤立波解的存在性、数量及其波速上下界，揭示了波的特性遵循波速选择原理，且不受时滞与非线性项阶数影响。

　　

Introduction and main results

非线性波方程通常用于描述各种物理现象，如非线性光学、等离子体物理、流体力学、光纤、固体物理学等。1895年，Korteweg和de Vries首次提出了Korteweg-de Vries (KdV) 方程u_t+ uu_x+ u_xxx= 0。其中，u_t是演化项，uu_x是导致波形陡峭化的非线性对流项，u_xxx是使波形扩展的线性色散效应项。方程(1.1)通常被描述为...

Preliminaries

在证明主要结果之前，本节将介绍一些预备知识。

Proof of Theorem 1

本节我们讨论方程(1.9)在弱局部核情况下，周期波和孤立波解的存在性。对于方程(1.9)的行波方程，通过应用几何奇异摄动理论(Geometric Singular Perturbation Theory)，限制在局部不变流形上时，奇异摄动系统被转化为正则摄动系统。接着，我们得到了包含两个生成元的梅利尼科夫(Melnikov)函数。应用引理2中提出的判定准则来证明...

Proof of Theorem 2

本节我们证明当弱局部核被强局部核f(t) = t/τ²e^?t/τ替换时，方程(1.9)行波解的存在性和数量。同样利用几何奇异摄动理论(Geometric Singular Perturbation Theory)、单调性判据和变量变换来处理奇异摄动方程。与第3节类似，当方程(1.9)包含强局部核时，我们得到行波方程为如下形式: (r ? c)φ″(ξ) + a(ηφ^n?1)″(ξ) ? b c φ″″(ξ) + τ φ″′(ξ) = 0, 其中η(ξ) = ∫₀^+∞...

Simulations

为了验证定理1 (i) 和定理2 (i) 中陈述的理论结果，我们对正则摄动系统(3.21)和(4.49)进行了数值模拟。对于系统(3.21)，取n = 4和r = 2.5，可得h₁= ?0.3以及X(h)在图3(a)中的图像。对于这种情况，同宿环最左点的横坐标约为μ_m≈ ?1.357208808，并且我们有c₁(h₁) = 2, c₁(0) ≈ 1.762347538，以及c₁(h)在图3(b)中的图像。选择c = 1.85，我们得到M(h, δ)的图像并发现M...

Conclusions and discussions

本文主要关注讨论一个广义时滞KP-MEW-Burgers方程中周期波和孤立波解的存在性和数量，该方程在对流项中包含一个任意高阶项和两种不同的分布时滞。应用几何奇异摄动理论(Geometric Singular Perturbation Theory)将奇异摄动系统约化为正则摄动系统。对于包含弱和强局部核的方程，我们讨论了相应的行波方程。