自适应PI控制下具有马尔可夫切换的随机延迟复杂网络的几乎必然渐近同步

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Almost surely asymptotic synchronization of stochastic delayed complex networks with Markovian switching via adaptive PI control

本工作研究了在随机扰动、时滞和马尔可夫切换等复杂因素共同作用下的复杂网络同步问题。通过利用节点间的复杂信息交互，创新性地提出了两类自适应比例-积分（PI）控制协议（NEAPIPs），并结合LaSalle不变性原理、随机Lyapunov方法和代数图论，为该类网络在几乎必然意义下的渐近同步建立了充分判据，为实际工程系统设计提供了有价值的理论指导。最后的数值仿真验证了所提方法的有效性和可行性。

　　

Main results (主要结果)

本部分设计了两类分别基于节点和边信息的自适应比例-积分（Proportional-Integral, PI）控制协议。结合随机混合时滞系统的拉塞尔（LaSalle）不变性原理和图论，我们推导了实现具有马尔可夫切换的随机延迟复杂网络（SDCNsMS）几乎必然渐近同步的若干判据。

首先，我们将详细讨论在基于节点的自适应PI控制协议（NbAPIP）及其相应的参数更新律下，SDCNsMS的几乎必然渐近同步问题。NbAPIP的目标是刷新网络节点间的耦合参数。

Examples and simulations (实例与仿真)

考虑一个由五个节点组成的SDCNsMS，其动态由以下随机系统描述：

[此处省略了重复的原始系统公式，与第一节中给出的公式形式一致，参数N=5]。

其中，x_i(t) = (x_i1(t), x_i2(t))^T表示节点i的状态变量。设时滞、外部耦合强度和内部耦合矩阵分别为 τ = 0.2, c_1 = 0.3, Γ = diag{1,2}。S = {1,2} 表示马尔科夫过程的有限状态空间。其状态转移概率矩阵[此处为数学符号，略]。

[文档内容未提供完整的转移概率矩阵及后续的详细仿真设置、初始条件、控制器参数和动态函数f、h的具体形式，以及结果图表的描述。因此，基于文档内容，无法提供更具体的仿真过程翻译。]

Conclusions (结论)

在本研究中，我们探讨了具有马尔可夫切换的随机延迟复杂网络（SDCNsMS）的几乎必然渐近同步问题。基于网络节点间的相对状态信息，我们设计了两类自适应控制协议，包括节点边自适应PI协议（NEAPIPs），并制定了相应的参数更新律。通过综合运用拉塞尔不变性原理、随机李雅普诺夫稳定性理论以及代数图论，我们为SDCNsMS实现几乎必然渐近同步建立了充分条件。