IgA方法和子网格法

《Computers & Mathematics with Applications》：IgA and subgrid method

本文提出一种基于Bernstein函数的子网格稳定方法，用于解决Isogeometric Analysis中一阶偏微分方程的对流主导问题。该方法通过扩展B样条空间并引入Bernstein泡函数，有效抑制标准Galerkin方法中的数值振荡，并与激波捕获技术结合进一步减少Gibbs现象。数值实验验证了该方法在静态和动态问题中的鲁棒性与高效性。

　　

Zakaria El Hasnaoui|Ahmed Ratnani|Abdeladim El Akri

摩洛哥拉巴特穆罕默德六世理工学院先锋中心

摘要

本文重点研究了在使用B样条有限元方法求解一阶偏微分方程时出现的数值不稳定性问题，尤其是对流占主导的传输方程。具体而言，我们扩展了子网格方法和气泡函数在等几何背景下的应用。本文提出使用Bernstein函数作为气泡函数。我们的方法成功减少了标准Galerkin方法中出现的大幅振荡，并且可以与捕捉冲击波的技术结合使用，以进一步减少与Gibbs现象相关的振荡。通过详尽的数值测试验证了该方法的有效性。

引言

在传输方程和守恒律的计算建模中，有限元方法（FEM）因其处理复杂几何形状和边界条件的灵活性和准确性而被广泛使用。然而，用于一阶偏微分方程（如对流-扩散方程）的数值方法在对流占主导的情况下可能会受到显著影响。这个问题出现在各种数值方法中，包括有限差分方法、有限体积技术、Galerkin有限元方法和无网格程序。特别是，标准FEM常常导致振荡和虚假解，尤其是在存在尖锐梯度或不连续性的对流占主导问题中。

为了解决这些挑战，已经开发了多种稳定化技术来提高近似的鲁棒性和准确性。两种常用的方法是Galerkin最小二乘（GLS）和流线迎风Petrov-Galerkin（SUPG）。GLS方法由[1]提出，通过加入最小二乘项和依赖于网格的参数来改进标准Galerkin方法，从而实现准最优L2范数误差和最优图形范数误差。SUPG方法由[2]提出，通过增加与控制微分方程残差成比例的项来修改权重函数，从而沿流动方向稳定解并减少振荡。

还开发了其他稳定化技术来进一步提高数值解的质量。不连续Galerkin（DG）方法允许元素之间的不连续性，并在界面使用数值通量，适用于处理复杂的守恒律，并在网格适应方面具有灵活性[3]。子网格尺度模型（SGS）通过模拟未解决的尺度来增强FEM预测湍流流动的能力[4]。捕捉冲击波的方法通过添加人工扩散或粘性来平滑不连续性附近的解，防止非物理振荡[5]。通量校正传输（FCT）算法调整数值通量以保持守恒性质，同时避免高阶方案中出现的过度扩散[6]。连续内部惩罚（CIP）方法通过惩罚网格界面上的梯度跳变来提高稳定性[7]。局部投影稳定（LPS）通过离散空间的双尺度分解来处理已解决的尺度和波动[8]。最后，子网格粘性（SGV）方法针对梯度波动来提高精度[9]，[10]。

同时，一种有前景的近似技术称为等几何分析（IgA），它代表了一种现代的数值求解偏微分方程的方法。该技术由[11]引入，通过将其与计算机辅助设计（CAD）相结合来增强传统的有限元分析。

IgA的一个关键优势是它使用B样条或非均匀有理B样条（NURBS）来表示几何形状和近似未知解场。与传统的有限元方法不同，后者通常依赖于在元素边界上连续性有限的分段多项式基函数，B样条提供了更高的平滑度。这种固有的规则性提高了数值模拟的准确性和效率，特别是在涉及复杂几何形状或需要高阶连续性的问题中。

多项研究调查了将IgA与SUPG类型稳定化方法结合用于传输问题[12]，[13]。然而，一致观察到，仅仅提高近似阶数和平滑度并不能改善虚假振荡的抑制。特别是Gibbs类型的振荡，在高阶有限元方法中很常见，即使使用了SUPG稳定化，随着多项式度和连续性的增加，这种振荡往往会加剧[14]。

更一般地说，数值研究表明，对于没有尖锐层的情况，包括SUPG和GLS在内的经典稳定化离散化方法通常能够令人满意地处理对流或对流-扩散占主导的问题。然而，在存在尖锐边界或内部层的情况下，它们的有效性显著降低，此时经常会出现振荡、过度模糊以及对稳定化（调整）参数的敏感性[15]。

因此，最近在IgA方面的研究集中在改进基于经典SUPG和GLS的稳定化策略上。一些方法改进了基于残差的加权或修改了稳定化项，以克服经典SUPG在对流和对流-扩散-反应问题中的已知局限性。其他方法改变了样条近似空间本身，例如使用指数或变阶样条，以更好地表示尖锐梯度并减少振荡。

例如，[16]中提出的GSC方法通过加入与反应算子相关的额外残差基梯度项来扩展SUPG类型的稳定化。这些方法减少了边界层区域的超调和欠调，这对于高阶Lagrange和B样条离散化来说是已知的问题。尽管如此，像许多基于SUPG的技术一样，它们仍然对稳定化参数的选择敏感，需要仔细调整以平衡准确性和数值扩散。

类似地，基于指数或变阶样条空间的IgA方法已被证明可以显著减少对流-扩散问题中的虚假振荡[14]。然而，这种优势是以修改样条空间本身为代价的，引入了额外的问题依赖参数和非标准基函数，这限制了其通用性并使得集成到标准IgA框架中变得复杂。

在这项工作中，我们提出了一种受[10]中引入的子网格尺度方法启发的IgA高阶稳定化技术。该方法结合了B样条的强大近似特性和用作气泡函数的Bernstein多项式，以实现局部稳定。稳定化算子仅作用于气泡空间，不涉及任何调整参数。扩展了[10]的理论框架，我们为任意阶数的B样条和Bernstein函数建立了收敛性结果（定理3）。

从实现的角度来看，所提出的方法非常简单，因为它每个元素只需要添加一个高阶Bernstein气泡函数。这与许多现有的基于气泡的方法[17]形成对比，后者每个元素需要添加$p+1$个额外的气泡函数，从而导致更大的离散系统和更高的计算成本。数值结果表明，所提出的方法对于对流占主导的问题具有鲁棒性和效率，同时完全保留了高阶等几何离散化的优势。

本文的结构如下。第2节介绍了符号、定义，陈述了问题，并提供了一些将在文中使用的初步结果。第3节我们开发了一种合适的稳定化技术，该技术涉及用Bernstein函数完成B样条空间作为气泡函数。然后我们提出了本文的主要理论结果，即参数域中稳定系统的收敛性结果。第4节提供了参数域和物理域中静止和时变问题的几个数值示例。第5节总结了本文。

章节摘录

预备知识

在本节中，我们建立了符号并回顾了一些将在文中后面使用的初步结果。首先，我们陈述了问题。然后，我们介绍了B样条基、等几何离散空间和Bernstein多项式函数，并总结了它们的关键属性。

尺度分解和IgA

本节的目的是通过增强测试空间来开发一种合适的稳定化技术。关键思想是用缺失的气泡小尺度函数来完成B样条空间，这些函数的特点是在每个内部有限元素的边界处消失。Bernstein多项式函数显然满足这一属性，如图1所示。

在本文中，我们提出使用Bernstein函数作为气泡函数。具体来说，B样条空间

数值结果

在本节中，我们展示了一些数值实验来说明我们的理论结果，并测试所提出的策略的潜在进一步应用。这些模拟针对静止和时变问题进行，分别在两个独立的章节中讨论。

结论

在这项工作中，我们为等几何分析（IgA）中的一阶问题开发了一种子网格稳定化方法。我们的主要贡献包括参数域中的误差分析和收敛性结果。在一维和二维环境中进行的广泛数值测试，对于线性和非线性、时变和时不变方程，都证实了我们方法的实际效用。具体来说，我们已经证明子网格策略显著