基于DeepONet的算子学习方法：用于量化随机动力系统中的逃逸动态及最可能的转移路径

《Applied Mathematical Modelling》：DeepONet-Based Operator Learning for Quantifying Escape Dynamics and Most Probable Transition Paths in Stochastic Dynamical Systems

针对随机动力系统中逃逸现象和过渡路径的高效求解问题，提出基于深度算子网络的参数化方法，通过单次训练实现连续参数空间的高精度、高效率求解，并创新性引入反射边界条件，验证了其在复杂系统中的优越性。

　　

Jiaqian Zhao|Ao Zhang|Ming Yi|Xiaoli Chen

中国地质大学数学与物理学院，武汉，430074，中国

摘要

在随机动力系统的研究中，量化噪声驱动的逃逸现象和转移路径对于理解亚稳态之间的转换至关重要。诸如平均首次退出时间、逃逸概率和最可能的转移路径等关键指标为这些过程提供了重要的洞察。然而，传统的数值方法（包括蒙特卡洛模拟和有限差分方法）在计算效率和泛化能力方面存在不足，尤其是在处理具有连续参数变化的系统时。此外，现有的深度学习框架（如基于物理信息的神经网络）在参数变化时需要重新训练，这严重限制了它们在复杂动态参数系统中的性能。为了解决这些挑战，本文提出了一种基于深度算子网络的新解决方案框架。该框架旨在高效解决连续参数空间中的随机系统的逃逸问题和转移路径。通过将随机微分方程中的漂移项和噪声强度参数化，该框架构建了从参数空间到解算子的显式映射，从而消除了参数变化时重新训练的需要。此外，本文创新地将反射边界条件集成到随机基因调控系统的逃逸分析中，为研究基因转录动态提供了全新的分析范式。一系列数值实验表明，该框架具有高精度、卓越的计算效率和强大的泛化能力。本研究成功地将算子学习与随机动力学相结合，为揭示复杂随机系统的演化规律提供了高效且通用的工具。

引言

在随机动力系统领域，亚稳态之间的转换机制长期以来一直是学者们的研究重点[1]、[2]。当受到随机噪声的干扰时，系统不再局限于单一的稳定状态，而是可以在不同的亚稳态之间动态切换[3]、[4]。探索系统如何从一个稳态逃逸到另一个稳态或退出特定区域是研究逃逸现象和状态转换的核心。随着研究的进展，对平均首次退出时间（MFET）、逃逸概率（EP）和最可能的转移路径（MPTP）的定量分析已成为揭示随机动力系统演化机制的关键工具。准确表征这些指标不仅对于理解随机系统的动态特性至关重要，而且在流体力学[5]、聚合物动力学[6]、生态学[7]、环境科学[8]和遗传学[9]等领域也具有重要的实际价值。

为了量化随机系统中的逃逸现象和状态转换，已经开发了几种经典的数值方法。在计算MFET和EP时，广泛使用了蒙特卡洛（MC）模拟[10]、有限差分方法（FDM）[11]和有限元方法（FEM）[12]、[13]。Higham等人[14]提出了一种多层MC方法，用于高效解决高斯噪声驱动系统的MFET问题。Gao等人[15]使用FDM完成了Lévy噪声驱动系统中MFET和EP的精确计算。Patie等人[16]将FEM应用于高维扩散过程中的逃逸问题。在MPTP求解领域，字符串方法[17]和自适应最小作用量方法[18]是常用的策略。Chao和Duan[19]在Onsager-Machlup框架下进一步整合了欧拉-拉格朗日方程和射击方法，为随机系统中的MPTP分析提供了新的范式。然而，尽管这些传统方法在特定场景下表现良好，但它们存在不可忽视的局限性。随着时间步长的缩小或样本量的增加，MC方法的计算成本急剧上升。FDM由于依赖于结构化网格而在处理参数动态时遇到困难。FEM在处理网格变形和累积重构误差时也面临挑战。此外，大多数MPTP方法严重依赖于初始条件和参数，缺乏满足复杂随机系统高效分析需求的泛化能力。

随着计算技术的进步，机器学习方法为高效解决逃逸问题开辟了新的途径。基于物理信息的神经网络（PINNs）[20]将偏微分方程（PDE）约束嵌入到损失函数中，使得在噪声数据下能够稳健求解。Liu等人[21]利用PINNs框架高效解决了逃逸现象的正向和逆向问题。此外，Li[22]、Chen[23]和Khoo[24]等学者通过机器学习框架快速计算了传递函数，为逃逸现象的研究注入了新的思路。这些方法在特定场景中取得了突破性进展，有效提高了某些逃逸问题的解决效率。然而，它们都高度依赖于特定的PDE实例：当面对复杂随机系统参数的动态变化时，必须重新训练网络以获得相应的解。

近年来，用于参数化PDE解算子的学习方法成为研究热点。经过一次训练后，这些方法可以通过网络前向传播快速解决不同参数配置下的PDE问题。其中，深度算子网络（DeepONet）[25]和傅里叶神经算子（FNO）[26]是该领域中突出的代表模型。DeepONet通过分离主干网络和分支网络可以直接解决一类PDE实例。它不需要对输出函数进行离散化，支持任意类型的网格，并在结构灵活性和广泛应用性之间取得了平衡[27]。相比之下，FNO通过傅里叶空间积分核参数化和快速傅里叶变换实现了高效计算。虽然在固定分辨率的规则场景中具有出色的推理速度，但它需要输入-输出离散化，并且仅限于笛卡尔网格和相同维度的域。根据Kovachki等人的研究[28]，FNO的连续形式等同于具有特定分支架构和三角基主干网络的DeepONet。此外，DeepONet的各种变体（例如，Fourier-DeepONet [29]、Geom-DeepONet [30]、S-DeepONet [31]、Quantum-DeepONet [32]）在泛化能力、解的准确性和不确定性量化方面显示出显著的优势[33]、[34]。

在分析动态参数场景下复杂随机系统的逃逸问题和转移路径时，传统的数值方法和某些机器学习方法的效率较低，泛化能力较弱，并且在参数变化时需要重新计算。因此，迫切需要一种可以直接将参数空间映射到解算子的通用方法，从而高效分析逃逸现象和转移路径。鉴于DeepONet出色的灵活性和通用性，本文提出了一种基于DeepONet的解决方案框架（图1）。该框架旨在在复杂、可变的连续参数场景下高效解决MFET、EP和MPTP，从而为多个领域的随机系统的定量分析提供有力支持。本研究的核心贡献如下：

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通过将随机微分方程（SDEs）的漂移项或噪声强度作为输入参数化到DeepONet的分支网络中，我们实现了在整个参数空间内通过单次训练高效解决逃逸问题和转移路径。这克服了传统数值方法和机器学习方法（例如PINNs）对特定参数配置的依赖性。

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我们对三种复杂性和维度逐渐增加的典型随机系统进行了数值验证，并创新地将反射边界条件引入生物系统的逃逸分析中。这充分验证了所提出框架在解决MFET、EP和MPTP方面的高精度、高效性和强大泛化能力。

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利用DeepONet的高效求解能力，我们深入揭示了噪声强度和动态参数如何调节系统的逃逸行为和转移路径。这为研究复杂随机系统的演化机制提供了可靠的工具。

本文的结构如下：第2节首先介绍了随机系统的基础知识，简要介绍了随机动力学中的逃逸问题和最可能的转移路径，并概述了DeepONet的核心原理及其在解决逃逸现象中的应用。第3节通过一系列数值实验验证了DeepONet在连续参数场景下解决随机系统逃逸问题的有效性和优越性。最后，第4节总结了本研究的主要发现并概述了潜在的未来研究方向。

节选

初步知识

考虑以下伊藤随机微分方程（SDE）：

$d{X}_t=f\left(X_t\right)dt+\sigma \left(X_t\right)d{B}_t,X_0=x_0\in R^n,$ $X_t\in R^n$ $X_0=x_0$ $f:R^n\to R^n$ $\sigma :R^n\to R^{}$ $(\Omega ,F,P)$

为了确保SDE（1）解的存在性和唯一性，f和σ必须满足全局Lipschitz性和线性增长条件

数值模拟

我们对三种复杂性和维度逐渐增加的随机系统进行了数值模拟，以系统地验证基于DeepONet的算子学习框架在解决具有连续参数的逃逸问题时的准确性、效率和泛化能力。首先，对于1D随机基因调控系统，我们以转录因子激活剂的浓度作为研究对象，揭示了噪声的调控机制

总结

深入分析随机动力系统中亚稳态转换的内在动态机制是揭示复杂系统演化规律的核心。它还为多个领域的随机系统的定量分析提供了理论支持。本文重点关注高效解决随机系统中的平均首次退出时间、逃逸概率和最可能的转移路径，从而探讨了深度学习方法的应用挑战

CRediT作者贡献

Jiaqian Zhao：概念化（同等贡献）；方法论（同等贡献）；软件（同等贡献）；形式分析（同等贡献）；撰写-原始草稿（同等贡献）；撰写-审阅与编辑（同等贡献）。Ao Zhang：方法论（同等贡献）；验证（同等贡献）；撰写-审阅与编辑（同等贡献）。Ming Yi：概念化（同等贡献）；资金获取（同等贡献）；验证（同等贡献）；调查（同等贡献）；撰写-审阅与编辑（同等贡献）。Xiaoli Chen：概念化（同等贡献）；资金获取（同等贡献）；方法论（同等贡献）；项目

CRediT作者贡献声明

Jiaqian Zhao：撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 原始草稿，软件，方法论，数据管理。Ao Zhang：撰写 – 审阅与编辑，方法论，调查。Ming Yi：撰写 – 审阅与编辑，项目管理，方法论，资金获取。Xiaoli Chen：撰写 – 审阅与编辑，撰写 – 原始草稿，方法论，调查，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。