: 谱条件在孤立韧图中的路径因子存在性：基于Aa-谱半径与距离谱半径的新判据

《Discrete Applied Mathematics》：Spectral conditions for path-factors in isolated tough graphs

本文从图论核心的谱方法角度出发，在孤立韧性的框架下，为图的路径因子存在性问题提供了全新的谱视角。作者巧妙地结合了图的孤立韧度、Aa-谱半径（ρa(G)）与距离谱半径（μ(G)）等核心概念，建立了两个关于P≥2-因子存在的充分条件。研究不仅将经典的结构性条件（孤立韧度）与代数图论（谱参数）紧密联系，还为复杂网络中的子结构识别与分解问题提供了有力的理论工具，对理解图的连通性、哈密顿性等基本性质具有重要意义。

　　

Highlight

图的孤立韧度（isolated toughness）是其韧度（toughness）概念的一个有趣变体，它通过量化移除顶点集后产生孤立顶点的代价，来刻画图抵抗分离的能力。一个图G是孤立t-韧的，当且仅当对于任何能产生至少2个孤立顶点的顶点子集S，有 t * i(G-S) ≤ |S|。本文聚焦于寻找一种特殊的生成子图——路径因子（path-factor），其每个连通分支都是至少包含2个顶点的路径（即P_≥2-因子）。路径因子的存在是比完美匹配更弱但比哈密顿路径更强的性质，在网络设计、任务调度等领域有潜在应用。

Main Results

我们的核心成果是建立了两个分别基于A_a-谱半径和距离谱半径的充分条件，用以保证具有特定孤立韧性的图存在P_≥2-因子。具体而言：

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  定理1.1 (基于A_a-谱半径)： 设t ≥ 1为整数，G是一个具有n个顶点的连通、孤立(t/(2t+1))-韧图。如果n足够大（满足给定的不等式），并且对于a ∈ {0, 1}，有ρ_a(G) ≥ ρ_a(K_t∨ (K_n-3t-1∪ (2t+1)K₁))，那么G一定包含一个P_≥2-因子，除非G本身恰好就是那个极图K_t∨ (K_n-3t-1∪ (2t+1)K₁)。这里的A_a-谱半径是邻接谱半径（a=0）和无符号拉普拉斯谱半径（a=1）的统一推广。
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  定理1.2 (基于距离谱半径)： 在相同的孤立韧性假设下，如果n足够大，并且有μ(G) ≤ μ(K_t∨ (K_n-3t-1∪ (2t+1)K₁))，那么G同样包含一个P_≥2-因子，同样的极图情况除外。距离谱半径反映了图中顶点间距离的整体分布特性。

Conclusion

这些结果的重要意义在于，它们成功地将图的全局代数特征（谱半径）与重要的组合结构（路径因子）的存在性联系起来。通过设定图的孤立韧性门槛，我们能够利用谱工具来探测其内部是否存在特定的路径覆盖结构。这为判断复杂图（网络）是否具有某种“良好分解”提供了一种基于特征值计算的、潜在高效的代数判据，丰富和发展了谱图论在因子理论中的应用。