基于物理嵌入的机器学习框架，对承载型3D超材料进行数据驱动的逆向设计

基于物理的蜂窝超材料多尺度逆设计方法及验证

　　

李胜华|杨瑞|孙世勇|黄启忠|雷恒通

中国大连理工大学机械工程学院高性能精密制造国家重点实验室，大连116024

摘要

能够确定性改变形状的承载结构的逆向设计在智能工程设计中是一个复杂且病态的问题。这一挑战源于目标曲率与度量张量之间的非线性映射，这通常会导致非唯一解。为了解决这个问题，提出了一种分层的数据驱动计算框架，用于编程蜂窝状超材料的多尺度几何形状。所提出的方法以多保真度物理引导的神经网络（MF-PGNN）为核心。通过将领域知识明确嵌入到数据驱动算法中，该方法有效地解决了从目标曲率目标到特定几何参数的一对多映射问题。利用这种基于物理的机器学习策略，证明了平面结构可以通过简单的驱动方式重新配置成具有正高斯曲率、零高斯曲率或负高斯曲率的3D表面。所提出的计算策略的鲁棒性通过广泛的模拟和实验得到了验证。该框架能够以高保真度（归一化平均绝对误差NMAE ≤ 0.016）精确构建基本几何形状，如鞍点、椭球体和圆柱体。此外，MF-PGNN替代模型的决定系数（R2）大于0.98，适用于正向预测。除了几何精度外，得到的结构还表现出较大的变形能力和强大的承载能力。这项工作为自适应结构的设计自动化和虚拟原型制作建立了一个可扩展的范式，在航空航天、软体机器人和柔性电子领域具有潜在应用。

引言

自动化3D曲面设计是一项复杂且需要大量知识的工作，对于从航空航天[4, [5], [6]到软体机器人[7,8]和柔性电子[9,10]等领域的进展至关重要。然而，当尝试将2D材料转化为具有非零高斯曲率的承载形式时，工程师会遇到微分几何的刚性约束，这使得该领域的决策变得特别困难[11]。传统的制造方法（如冲压）试图强行将材料塑形，但这种缺乏内在几何兼容性的做法不可避免地会导致残余应力和缺陷，从而影响组件的可靠性[5]。

为了克服这些几何限制，研究人员从自然界中寻找灵感，提出了“内在变形”策略[8,12,13]。这些策略包括软材料中的各向异性膨胀[14,15]或引入切割（如剪纸艺术[16, [17], [18]中所见）。虽然这些方法可以实现令人印象深刻的形状变化，但它们往往无法同时考虑结构性能，从而在机械强度和变形能力之间做出权衡[1,19,20]。因此，开发一种能够同时优化形状可编程性和承载能力的计算方法仍然是工程信息学中的一个重大挑战[21,22]。

蜂窝状超材料由于其轻质和高强度[23,24]，为测试这些先进的设计框架提供了一个极好的平台。然而，尽管对其力学特性进行了广泛研究[25], [26], [27]，但目前仍缺乏一个系统的逆向设计框架，能够将所需的3D表面自动映射回必要的2D微观结构。从信息学的角度来看，这是一个数学上病态的问题，因为解决方案是非线性的且非唯一的[28], [29], [30], [31], [32]。传统的优化方法在没有明确领域知识指导的情况下，往往难以高效地导航这一复杂的设计空间。

现有研究清楚地展示了深度学习在逆向设计中的优势。然而，其有效性通常依赖于包含数百万样本的大型数据集[33]。对于涉及大变形和非线性屈曲的复杂机械系统，高保真度的数据采集成本过高，这使得在工程实践中难以实现这样的数据需求。

生成模型（如VAE和GAN）被广泛用于潜在空间中的设计探索[34]。然而，它们在机械超材料方面存在几个根本性限制。首先，不同拓扑结构之间缺乏统一的几何参数化，严重限制了它们的泛化能力。其次，这些模型存在训练不稳定和模式崩溃的问题，通常需要更大的数据集才能实现可靠的收敛[35]。

更重要的是，当使用显式的连续几何参数时，潜在空间映射会引入不必要的计算冗余[36]。由于这些模型的固有随机性，它们无法满足形状变形控制的确定性精度要求。此外，传统的启发式搜索方法和基于体素的表示也有各自的缺点[37,38]。启发式方法受到离散设计空间的限制，而基于体素的方法则由于高分辨率建模要求而面临沉重的计算负担。此外，尽管大多数现有框架主要关注线性弹性特性，但由屈曲行为驱动的2D到3D形状变形的逆向设计仍然研究不足。这是由于这类非线性过程固有的建模和计算复杂性较高。

在这项工作中，引入了一种分层的、知识驱动的计算架构，将分析力学理论与物理引导的机器学习相结合。如图1所示，该研究框架提出了一个多保真度、物理嵌入的串联框架，用于解决将宏观功能目标映射到微观几何形状的病态逆问题。

为了弥补现有数据驱动方法的不足，这种方法将低成本的分析先验与有限的高保真度样本结合起来，实现了高保真度的逆向设计，并显著减少了数据需求。通过明确嵌入物理定律并利用闭环串联架构，所提出的框架确保了严格的几何和物理有效性，同时有效解决了逆映射的非唯一性问题。得到的结构既具有复杂的几何形状，又具有强大的承载能力，为高性能自适应结构的设计自动化提供了一种新的知识嵌入范式。

部分摘录

分析力学模型和宏观尺度优化

蜂窝状超材料的宏观变形由其微观几何参数精确决定，然而这种关系构成了一个复杂的多尺度耦合问题。为了建立从微观拓扑到宏观曲率的定量映射，构建了一个理论框架，该框架结合了分析建模、均匀化理论和有限元方法（FEM）。在这个框架中，离散的蜂窝结构被视为等效

2D蜂窝的几何设计空间

为了实施第2节中描述的分层逆向设计框架，首先定义了蜂窝结构的几何设计空间。传统的连续板材由于其内在的正泊松比，在弯曲时倾向于形成负高斯曲率的反曲面[47]。然而，本研究对蜂窝状超材料的微观拓扑进行了编程，将其有效泊松比（${\mu }_{\text{e}}$）从材料常数转换为关键设计参数

结果与讨论

为了系统评估所提出的多尺度逆向设计框架的性能和可行性，设计了三个代表性的目标表面生成任务。这三个目标表面在拓扑上分别对应于鞍点（负高斯曲率）、圆顶（正高斯曲率）和圆柱体（零高斯曲率）。这种选择使得能够全面评估该框架处理不同曲率类型的能力。

未来应用前景

基于第4节中验证的逆向设计框架，本节探讨了该方法所支持的潜在工程应用和未来研究方向。

所提出的设计范式在软体机器人领域具有特别的前景，目前执行器的设计仍然严重依赖于繁琐的试错方法。所提出的框架基于任务需求实现了“逆向编程”策略。例如，执行器的微观架构

结论

在这项工作中，建立并验证了一个完整的、从理论到应用的多尺度逆向设计框架，用于通过编程蜂窝状超材料的微观结构来精确生成复杂的3D曲面。该核心策略利用了表面的内在几何不变量——即其主要曲率的乘积和比率——来指导设计。这种方法将高维、复杂的几何匹配问题重新框架化为低维、物理上可行的问题

CRediT作者贡献声明

李胜华：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，概念化。杨瑞：概念化，方法论，项目管理，监督，撰写 – 审稿与编辑。孙世勇：撰写 – 审稿与编辑，项目管理，方法论，资金获取，概念化。黄启忠：撰写 – 审稿与编辑，方法论，概念化。雷恒通：调查，

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

这项工作得到了国家自然科学基金（编号：52575269）的支持。