针对弯曲波作用下的缺陷声子梁与压电传感器和执行器的刚度矩阵方法

《Sensors and Actuators A: Physical》：Stiffness matrix method for defective phononic beams toward piezoelectric sensors and actuators under bending waves

本研究提出基于刚度矩阵的稳定高效分析方法（SMM），解决了传统传递矩阵法在缺陷声子晶体梁高频分析中的数值不稳定问题，实现了带结构、缺陷模式及机电响应的统一建模，计算效率比有限元法高且保持数值稳定，适用于超声传感器等应用。

　　

李民洙|白珠熙|裴汉成|黄道贤|张镇赫|赵秀浩|尹宪俊

韩国首尔松溪大学机械工程系，邮编06978

摘要

缺陷声子梁（DPBs）能够实现弹性波的强空间定位，提供必要的能量放大，从而实现高灵敏度的驱动和传感。本研究提出了一种基于刚度矩阵的分析框架，可以准确高效地模拟压电DPBs中的机电耦合弯曲波现象。传统的传递矩阵方法（TMMs）在多单元或高频配置下常常出现数值不稳定和病态条件问题。本研究的主要贡献是开发了一种数值稳定且计算效率高的刚度矩阵方法（SMM）。所提出的SMM能够在统一的分析框架内预测能带结构、缺陷模式以及机电驱动和传感响应。与有限元方法（FEMs）的比较表明，SMM的准确性与FEMs相当，同时产生平滑且物理上一致的频率响应，没有虚假振荡。此外，SMM所需的计算时间仅为FEM分析的一小部分。该公式已在MATLAB中完全实现，使得模拟结果可重复。条件数分析证实，与TMMs不同，SMM在整个频率域内都保持良好的条件性。这些发现使SMM成为一种稳健、可扩展且时间效率高的分析框架，可用于优化用于无损评估、结构健康监测以及预测和健康管理的超声换能器。

引言

声子晶体是由周期性排列的单元格组成的人工工程结构，能够产生非常规的波现象[1]、[2]、[3]、[4]。声子带隙非常重要，因为它通过布拉格散射抑制了特定频率范围内的弹性波传播，这种散射是由周期性结构中的破坏性干涉引起的[5]、[6]、[7]、[8]。这些带隙使得各种先进应用成为可能，包括精密仪器中的振动隔离[9]、[10]、[11]、[12]、建筑环境中的噪声降低[13]、[14]、[15]、[16]、信号处理设备中的波过滤[17]、[18]、[19]、[20]，以及机械计算中的波引导[21]、[22]、[23]、[24]。这些例子突显了声子晶体在工程上的广泛应用，而不仅仅是学术上的兴趣。

声子晶体研究的一个关键突破是故意引入了破坏周期性的特征——通常称为缺陷——这些特征在禁带内局部破坏平移对称性并产生通带[25]、[26]。在这里，“缺陷”一词指的是有意设计的修改，而不是自然发生的不规则性或不连续性（例如，无损评估中的裂纹和分层）。这些缺陷模式在缺陷位置强烈限制了弹性能量，从而实现了基于共振的放大[26]、[27]和通过原本禁止的光谱区域的高传输[28]、[29]。研究人员使用分析和数值模型[30]、[31]以及实验演示[32]、[33]研究了这些受缺陷模式启发的局部化效应。这些研究为将缺陷模式作为功能机制应用于选择性波过滤[34]和频率检测[35]等应用奠定了基础。最近，人们对可调缺陷声子晶体[36]、[37]、[38]、[39]越来越感兴趣。这些晶体能够根据外部刺激主动或自适应地调整缺陷模式，从而实现对波定位和传输的可重构控制。

同时，人们越来越有兴趣将智能材料集成到声子晶体中以进一步扩展其功能[40]、[41]、[42]。压电材料特别有吸引力，因为它们具有内在的双向机电耦合特性，使得单个元件可以同时作为执行器和传感器[43]。这种双重功能在无损评估中非常宝贵，因为弹性波可以在不损坏宿主结构的情况下探测内部裂纹[44]。在这种情况下，高灵敏度和抗噪声能力对于可靠地检测目标至关重要。如图1所示，将缺陷声子晶体与压电组件结合使用，可以在特定的缺陷带频率下限制弹性波，并利用机电转换来放大机械输出或电信号。实际上，这种协同作用降低了所需的驱动功率，提高了传感系统的信噪比，并实现了节能的检测系统。这一概念可以扩展到包括民用和航空航天结构的结构健康监测，以及动态系统的预测和健康管理[45]、[46]。

在当前框架中，弯曲波被用作无损评估的探测波模式。从物理角度来看，弯曲波非常适合裂纹检测，因为它们受弯曲变形和曲率的控制。它们对由表面裂纹、边缘状裂纹和分层引起的局部刚度不连续性非常敏感。与纵波或扭波相比，弯曲波在与这些类型裂纹相互作用时散射和反射更强，导致测量响应中的扰动更加明显[47]、[48]。此外，与弯曲波相关的主导的垂直于平面的位移使得通常用于实际无损评估系统的表面安装压电传感器能够有效捕获裂纹引起的信号[49]。

从设计角度来看，要实现这些好处，需要同时准确、计算稳定和高效的建模方法。一维声子梁是这种建模的合理平台，因为它们保留了必要的波-结构相互作用，同时避免了二维或三维晶格的几何和计算复杂性。这些梁可以支持多种引导波家族，包括纵波[50]、[51]、扭波[52]、[53]和弯曲波[54]、[55]。纵波和扭波已经得到了广泛研究，因为它们的控制方程相对简单，允许使用稳定的公式，如传递矩阵方法（TMM）[56]、[57]。在TMM中，使用三角函数表达的紧凑的2×2关系使得计算稳定可靠。相比之下，弯曲波由更高阶的微分方程描述，这带来了额外的边界条件[58]。这些波还表现出频率依赖的相速度和群速度。这些特性大大复杂化了分析，因为它同时考虑了三角函数和双曲函数，当应用传统的TMM时容易产生数值不稳定。事实上，Jo等人在参考文献[59]中报告了这个问题。在缺陷声子梁（DPBs）中，这个问题更加严重。在这种情况下，传递矩阵的重复乘法会累积舍入误差和病态条件，导致在较高频率下不稳定加剧[60]。有限元方法（FEM）可以缓解这些问题[61]；然而，准确解析局部弯曲模式需要精细的空间离散化和密集的频率采样。这导致了高昂的计算成本。因此，FEM可能不适用于执行器-传感器系统的迭代设计和优化。

这些考虑揭示了一个方法论上的空白。很少有分析策略可用于分析DPBs中的弯曲波传播，尤其是当与压电执行器和传感器耦合时。为了解决这个问题，本研究引入了刚度矩阵方法（SMM），该方法专为分析此类梁中的弯曲波而设计。SMM通过递归过程直接将节点位移/斜率与弯曲力/剪切力相关联。这一特性通过避免由指数增长和衰减项引起的病态条件来保持稳定性，即使对于大型超单元也是如此。此外，SMM的紧凑矩阵结构比FEM更高效，非常适合快速模拟。此外，所提出的框架自然地结合了通过格林函数得到的波解来表示的机电耦合，以响应线性压电性的本构关系。这允许通过考虑缺陷模式引起的放大直接预测执行器-传感器响应。因此，SMM方法解决了弯曲波分析中的不稳定性问题，并为基于缺陷模式的压电设备提供了一个多功能平台。本研究的主要贡献如下。

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为DPBs中的弯曲波传播制定刚度矩阵方法，确保在传统传递矩阵方法失败的情况下仍具有数值稳定性

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高效地表征大型超单元中与弯曲相关的缺陷模式，从而可靠地分析缺陷带频率和缺陷模式形状

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将压电耦合整合到弯曲波的刚度矩阵框架中，允许在缺陷模式引起的放大下直接预测执行器-传感器响应

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所提出方法的MATLAB实现，增强了可重复性，并为研究人员提供了实用的工具

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了针对一维压电DPBs的SMM框架。本节涵盖了公式化、能带结构分析以及机电驱动和传感的建模。第3节通过与FEM的比较来验证该框架，并检查其计算效率和数值稳定性。最后，第4节总结了关键发现并概述了未来工作的方向。

章节摘录

系统配置和建模假设

图2中研究的系统是由沿x轴周期性排列的单元格组成的一维DPB。每个单元格由两个金属子段（一个浅灰色和一个深灰色）组成，它们具有相同的矩形截面，但弹性模量和质量密度不同。这种二进制配置建立了布拉格散射所需的阻抗对比，从而在特定频率范围内产生声子带隙[8]。

接下来，引入了一个结构缺陷

验证计划

在数值验证阶段，在现实的材料和几何条件下实现第2节中建立的分析模型，以验证其预测能力。构建了一个由交替金属层组成的DPB，浅灰色部分使用铝，深灰色部分使用铅。该结构总共包含八个单元格（N = 8）。通过调整第五个单元格中铝层的长度（L = 5）引入了一个缺陷。

结论

本研究基于刚度矩阵开发了一个分析框架，用于模拟缺陷声子梁（DPBs）中机电耦合弯曲波的传播。目标是实现基于DPBs的高灵敏度压电执行器和传感器的准确、稳定和计算高效的分析。所提出的刚度矩阵方法（SMM）克服了传统传递矩阵方法（TMM）所受的数值不稳定和病态条件限制

CRediT作者贡献声明

裴汉成：方法论、研究、形式分析。黄道贤：方法论、研究、形式分析。尹宪俊：写作 – 审稿与编辑、监督、方法论、资金获取、形式分析、概念化。张镇赫：方法论、研究、形式分析。赵秀浩：写作 – 审稿与编辑、监督、方法论、形式分析、概念化。李民洙：写作 – 审稿与编辑、初稿撰写、可视化、验证，

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作

致谢

本研究得到了韩国能源技术评估与规划研究所（KETEP）和韩国贸易、工业与能源部（MOTIE）（编号：RS-2024–00398166）以及韩国政府（MSIT）资助的信息与通信技术规划与评估研究所（IITP）- 创新人力资源开发地方智能化计划（编号：IITP-2025-RS-2022–00156360）的支持。

李民洙于2025年在韩国首尔松溪大学机械工程学院获得学士学位。他目前正在松溪大学机械工程系攻读硕士学位。他的研究兴趣集中在多物理系统的弹性超材料的建模上。