一种基于向量形式同伦替代模型的高效多输出全局敏感性分析方法

《Reliability Engineering & System Safety》：An efficient multi-output global sensitivity analysis based on vector-form homotopy surrogate model

多输出全局敏感性分析框架基于向量形式同伦随机有限元法，通过线性组合确定系数与随机变量实现样本-free建模，利用协方差分解与Sobol'指数的方差加权聚合高效计算敏感性指标，验证了在RC钢柱和斜拉桥案例中的计算效率与数值稳定性优势。

　　

张恒|程琦|黄斌|吴志峰|陈辉

中国荆州长江大学城市建设学院，434023

摘要

对于复杂的工程结构，最优设计和施工控制通常需要考虑结构不同部分的多种响应。因此，对多个输出进行的全局敏感性分析（GSA）具有重要意义。然而，昂贵的模型评估和响应多样性对GSA的效率和准确性提出了挑战。本研究提出了一种无样本的、基于向量形式的替代建模框架，用于线性静态结构系统的多输出GSA。具体而言，通过同伦随机有限元方法，结构在静载荷作用下的多种响应被表示为确定性向量系数和随机变量基函数的线性组合。为了量化随机输入对多输出的影响，采用了文献中的基于协方差分解的敏感性指数，并将其表示为分量Sobol’指数的等效方差加权聚合，该聚合通过涉及替代系数和基函数基于矩的协方差信息的封闭形式矩阵运算高效计算得出。包括钢筋混凝土-钢柱和大跨度悬索桥的多重静响应的GSA在内的数值示例，通过与克里金法、多项式混沌展开及其基于主成分分析的变体的比较，展示了所提出方法的优异计算效率和数值稳定性。

引言

由于实际工程中的不确定性，不确定性量化（UQ）和全局敏感性分析（GSA）引起了广泛的研究兴趣[1]。UQ量化了输入不确定性对输出变异性的传播，而GSA则识别出驱动输出不确定性的最具影响力的输入因素，并可用于减少系统的输入数量和/或进行结构优化分析。目前，已经提出了各种GSA指数，包括基于导数的[2]、基于方差分解的[3]、不依赖于矩的[4]、基于分布的[5]以及基于Fréchet导数的[6],[7]全局敏感性度量方法。在这些方法中，基于方差分解的方法（也称为Sobol’指数）已被广泛用于描述输入的方差对输出方差的影响。然而，上述GSA指数最初是为标量输出设计的。

对于复杂的工程结构，必须综合考虑结构多个部分的响应以进行优化设计或施工控制。例如，为了确保高速铁路桥梁的乘坐舒适性和长期耐久性，需要以整体方式考虑整个桥面的位移，而不是某个特定点，这意味着需要对多个输出进行GSA。多输出GSA比单输出GSA更具挑战性。除了计算工作量显著增加外，分别对每个输出进行GSA可能会忽略输出分量之间的相关性[8],[9],[10]。已经提出了多种方法来解决多输出GSA问题，主要侧重于开发降维策略并使GSA能够应用于降维表示的各个组成部分[8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18],[19],[20],[21],[22],[23],[24]。具体来说，主成分分析（PCA）[8],[9],[10],[11],[19],[20],[21]和协方差分解[17],[22],[23]被广泛用于提高效率。例如，Lamboni等人[14]通过对通过PCA捕获的多输出的最重要组成部分进行GSA来说明所提出方法的计算效率和数值稳定性。Gamboa[15]提出了一种基于协方差分解的广义Sobol’指数，当输出是一维时，该指数退化为Sobol’指数。根据文献[17]，当主成分捕获了多个输出的所有方差信息[18,19]时，PCA的结果可以与协方差分解的结果相等。

另一方面，由于计算GSA指数需要双循环蒙特卡洛采样（MCS）[25],[26],[27],[28]，这是一个耗时的过程，因此另一种方法是创建替代模型来替换原始系统，这大大提高了GSA的效率。基于替代模型的方法主要包括多项式混沌展开（PC）[10,29]、克里金[4,8,30,31]、人工智能技术[9,[32],[33],[34],[35]和基于导数的ANOVA仿真器[2]。在这些方法中，构建替代模型通常需要在大量输入样本上进行模型评估[9]。值得注意的是，为了构建可靠的替代模型，必须仔细选择输入样本，以确保它们能够代表整个样本空间的统计特性[36]。因此，当系统的随机输入维度较高时，输入样本的选择和实现过程会影响GSA结果的精度和稳定性以及计算工作量[37],[38]。例如，参考文献[2]讨论了样本大小对使用PC方法进行GSA计算收敛性的影响，而参考文献[39]和[40]指出，高输入维度会大幅增加PC系数估计所需的样本数量，而当样本量过大时可能会出现过拟合问题[41]。参考文献[12]和[42]讨论了样本大小对高维GSA问题鲁棒性的影响。关于人工神经网络，除了选择初始样本外，还需要通过不断添加新样本来满足收敛条件[9,43]。基于导数的ANOVA仿真器可以表现出无维偏差和非常有吸引力的收敛特性，但它们仍然依赖于在模型样本点评估的导数信息。

总之，为了提高多输出GSA过程的计算效率，现有工作主要集中在多输出降维和样本效率高的标量替代建模上。然而，对于涉及多个感兴趣响应的GSA，特别是对于那些由于广泛的空间跨度可能导致参数敏感性出现显著区域变化的大规模结构，它们在计算效率和准确性方面有更高的要求。

作者最近提出了同伦随机有限元方法（HSFEM），该方法已被用于高效准确地获得具有随机参数的结构的屈曲载荷[44]、动态特性[45]和静态响应[46,47]。作为一种侵入式替代模型，HSFEM确定的结构随机位移是向量形式的，由确定性向量系数和随机变量的乘积组成，在替代建模过程中不需要任何样本。然而，尽管具有这些独特优势，这种侵入式同伦替代模型（HSM）尚未在任何GSA应用中得到使用。

与现有的依赖样本的标量形式替代模型方法不同，本研究开发了一种使用向量形式同伦替代模型的高效多输出GSA方法。具体来说，通过利用HSFEM方法，构建了结构在静载荷作用下的多个响应与随机变量之间的关系作为向量形式替代模型，并使用该模型计算每个输出的Sobol’指数。此外，为了量化随机变量对多输出的综合影响，采用了基于协方差分解的敏感性指数，该指数是输出Sobol’指数及其权重系数的乘积之和。每个系数定义为每个输出的方差与总多输出方差之比。由于Sobol’指数和权重系数都可以通过向量形式替代模型计算得出，这种方法显著提高了多输出GSA结果的解决效率和稳定性。此外，由于所提出的方法不需要降维或主成分分析，因此它可以比现有的标量形式替代模型方法更准确地计算GSA。为了证明所提出方法的有效性，进行了包括钢筋混凝土-钢柱和大跨度悬索桥在内的数值示例，并将计算结果与PC和克里金方法的结果进行了比较。

本文的结构如下。第2节介绍了多输出系统的基于协方差分解的敏感性指数。第3节回顾了用于静态位移响应的同伦随机有限元方法。第4节介绍了基于向量形式同伦替代模型的提出的多输出GSA框架。第5节提供了两个数值示例，以证明所提出方法的有效性及其相对于现有替代模型的优势。第6节总结了结论。

部分摘录

基于协方差分解的多输出全局敏感性指数

设$Y={[y_1\left(\xi \right),··,y_N\left(\xi \right)}^T$表示结构不同部分需要考虑的N个静态结构响应，这些响应可能包括位移、内力、应力和应变等。所有响应都是系统n个随机变量的函数，表示为$\xi ={({\xi }_1,··,{\xi }_n)T}^{}$。为了评估这些n个随机参数对N个响应的综合影响，定义了基于协方差分解的多输出全局敏感性指数[15]。

静态

考虑随机变量的静态平衡方程

结构在静载荷作用下的位移响应由$\mathrm{KU}=F$控制，其中K和F分别表示刚度矩阵和载荷向量。对于确定性系统，位移U可以直接通过K^{-1F获得。然而，当考虑材料随机性时，无法直接计算随机刚度矩阵的逆。}

通常，随机刚度矩阵可以通过随机变量或随机场（如Karhunen-Loève展开）来表示

多输出的向量形式替代模型

显然，在HSFEM中，随机位移响应被描述为确定性系数${\alpha }_j$和标量基函数${\Psi }_j\left(\xi \right)$的线性组合。基于这种位移响应的表示，本小节将同伦解从节点位移扩展到其他感兴趣的结构响应量，包括单元应变、应力和内力，它们具有相同的标量基函数

数值示例

研究了在静载荷作用下钢筋混凝土（RC）-钢柱和悬索桥的多输出GSA，以验证所提出的方法。这两个数值示例涉及具有各种分布类型的12维随机输入，包括Weibull、Beta和对数正态分布。它们的多输出维度分别为120和234。通过克里金法、PC、基于主成分分析（PCA）的PC和克里金法以及MCS计算了Sobol’和MS_i指数

结论

提出了一种新的多输出GSA框架，使用向量形式同伦替代模型高效计算Sobol’和MS_i指数。通过同伦随机有限元方法，确定结构的多个响应为确定性向量系数和随机变量的线性组合。通过将基于协方差分解的敏感性指数定义为Sobol’指数的方差加权总和，可以

CRediT作者贡献声明

张恒：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，方法论，资金获取，概念化。程琦：撰写 – 原始草稿，软件，研究，数据管理。黄斌：撰写 – 审稿与编辑，监督，方法论，资金获取，概念化。吴志峰：撰写 – 审稿与编辑，形式分析。陈辉：撰写 – 审稿与编辑，研究。