受限柱的统一显式K系数公式与刚度分区方法

《International Journal of Mechanical Sciences》：Unified Explicit K-Factor Formula and Stiffness Zoning for Restrained Columns

有效长度系数、弹性约束连接、稳定性优化设计、非迭代显式公式、GFRP构件实验验证

　　

张恒明|胡莉|李子怡|李峰

山东航空大学智能建造学院，滨州，256600，中国

摘要

准确确定有效长度系数（K系数）对于具有弹性旋转约束的轴向压缩构件的稳定性设计至关重要，但由于超越方程的计算复杂性以及现有简化方法的精度有限，这仍然是一个挑战。本研究为具有任意弹性端约束的柱子建立了一个统一的理论模型。通过使用降维拟合和对称泛化策略，推导出了一个新颖的显式K系数公式，该公式涵盖了从固定端到完全固定端的整个范围。所提出的公式是非迭代式的，并且在所有实际约束刚度下都能实现亚百分比的相对误差，这从物理上体现了整体柱子稳定性受“最弱约束端”控制的原理。该模型通过带有螺栓球形接头的玻璃纤维增强聚合物（GFRP）构件的屈曲试验得到了实验验证。参数分析揭示了K系数的非单调敏感性，确定了提高稳定性的最佳控制区域。基于此，提出了一种创新的刚度分区设计框架，支持标准的“分区选择-微调”工作流程。这项研究为弹性约束压缩构件的稳定性分析和优化提供了一个完整、高精度且实用的解决方案。

引言

轴向压缩构件的稳定性是结构工程设计中的一个基本问题，因为其临界屈曲载荷的准确预测直接影响结构的安全性、经济性和可持续性[[1], [2], [3]]。自18世纪欧拉建立弹性稳定性理论基础以来，已经为具有理想化固定端（K = 1.0）或完全固定端（K = 0.5）边界条件的压缩构件开发了经典解决方案[4]。 然而，在现代工程实践中常见的连接形式——如钢框架中的螺栓焊接接头[5]、复合结构中的粘合接口[6]以及长跨度桥梁中的支座[7]——表现出半刚性特性，这种特性不能被忽略，其旋转约束刚度介于理想化的固定端和完全固定端之间[[8], [9], [10]]。这种半刚性行为显著改变了构件的有效长度，从而影响了它们的实际承载能力[[11], [12], [13]]。如果将这些连接简单地视为理想化的固定端接头进行设计，构件的承载能力将被严重低估，导致材料浪费；如果简化为理想化的固定端接头，则由于实际约束刚度不足，稳定性可能会被高估，从而产生安全隐患[14,15]。因此，开发一个能够统一描述和准确量化弹性端约束效应的稳定性分析框架已成为现代工程结构精细化设计中的紧迫挑战。 为了应对这一挑战，研究人员和工程师采取了两种主要方法。第一种方法是实用的简化方法，例如美国钢铁建筑协会（AISC）规范中的对齐图表方法[16]和欧洲规范3[17]采用的设计曲线。虽然这些方法便于常规框架的设计，但其推导依赖于理想化假设，如梁和柱的同时屈曲以及忽略了旋转约束和平移约束之间的耦合[[18], [19], [20]]。Kishi等人[18]和Hellesland[21]的研究表明，这些简化方法在处理非标准或不规则框架时适用性有限。Duan和Chen[22,23]提出的改进对齐图表引入了边界条件的修正因子；然而，Adman和Saidani[24]的参数分析显示，当约束刚度连续变化时会出现系统偏差。Gantes和Mageirou[25,26]开发的分析方法与三层摇摆框架的有限元结果吻合良好，但Kalochairetis和Gantes[20]指出，由于忽略了几何不规则性和载荷变化，其准确性在复杂结构中会降低。总体而言，这些方法受到特定场景假设的限制，并且缺乏描述弹性约束柱子的统一理论基础[[27], [28], [29]]。 第二种方法侧重于约束刚度关系的精确理论建模。早期模型处理的是一端弹性另一端理想化的简化情况[[30], [31], [32]]，使其结论难以推广。随后为两端都具有弹性约束的柱子开发的统一模型产生了将有效长度系数（K系数）与无量纲刚度α相关联的非线性超越方程[[33], [34], [35]]。尽管这些方程可以精确描述在任意弹性约束下的屈曲行为，但它们需要迭代数值解[[36,37]]——这一过程对于常规工程设计来说过于繁琐。为了简化计算，研究人员通过数值拟合推导出了显式公式[[38]]；然而，这些公式通常仅适用于对称约束情况，或者在半刚性领域存在显著误差（Slimani等人的比较研究[39,40]显示最大误差可达8%）。更重要的是，大多数研究仅停留在K系数计算阶段[[41], [42], [43]]，没有深入进行参数敏感性分析或建立指导设计优化的理论体系[[44], [45], [46]]。 在许多不同机械系统的研究中都强调了准确建模半刚性连接和约束效应的重要性。Galv?o等人[47]研究了具有半刚性连接的细长框架的非线性动态行为和不稳定性，强调了连接刚度对屈曲和振动特性的影响。Radgolchin和Moeenfard[48]表明，假设中间构件的弯曲模量具有无限刚性会导致刚度预测的显著不准确性。Raftoyiannis[45]提出了一个线性稳定性分析，建立了接头灵活性对钢框架屈曲载荷的综合影响，表明接头灵活性是一个必须纳入稳定性分析的关键参数。Tarnai[49]探讨了额外约束对弹性杆结构的不稳定效应，提供了关于约束效应的基本见解。Chen和Tan[50]为八元格结构开发了一个有效长度模型，展示了有效长度概念在传统框架分析之外的更广泛适用性。关于受约束屈曲问题的研究也提供了宝贵的见解：Liu等人[51]结合理论、模拟和实验研究了圆管中杆的屈曲，Zhang等人[52]使用动态松弛方法分析了圆柱中压缩杆的屈曲后行为。Xiao等人[53]研究了在圆柱约束下梁的三维屈曲，识别了变形模式之间的关键转变。Su等人[54]研究了弹性约束旋转梁的振动受空间设置角度的影响，进一步证明了弹性约束分析在不同机械系统中的相关性。 近年来，随着复合材料在结构工程中的广泛应用，纤维增强聚合物（FRP）构件与金属接头之间的连接刚度引起了相当大的关注[[55], [56], [57], [58]]。对于在弹性约束下的FRP构件的稳定性，Zhang等人[59,60]采用了机器学习方法进行预测，但这些模型的可解释性需要改进[61]。关于参数敏感性分析，Iwicki[62]对桁架侧向支撑的工作为当前研究提供了重要的方法论参考。Ouyang等人[63]最近提出了一种用于多输入多输出结构的非概率敏感性分析方法，为样本有限时的敏感性分析提供了新的视角。此外，高阶梁理论的发展[64]为更准确的屈曲分析提供了新的见解，而关于负刚度结构的研究[65,66]表明约束刚度设计具有非线性潜力。关于FRP约束柱的研究[67]和基于神经网络的稳定性预测[68]代表了新兴的计算方法，而对结构工程中机器学习的全面回顾[7,61]为这些方法论发展提供了背景。然而，这些研究尚未形成一个涵盖理论建模、工程设计和优化策略的完整解决方案。

稳定性理论建模

建立理论模型是准确分析弹性约束轴向压缩构件稳定性的前提。本节旨在构建一个统一的机械模型，该模型能够一致地描述从固定端到完全固定端的整个约束范围。首先定义了模型的基本假设和机械参数；随后使用截面方法制定了屈曲曲线的微分方程并进行了求解。

显式公式推导与验证

稳定性特征方程（方程（1）是一个超越方程，需要迭代数值解，这限制了其在工程中的直接应用。本节重点通过“降维曲线拟合和对称泛化”策略推导出高精度的显式K系数公式。它首先在对称约束（α_A = α_B）下解决单参数问题，通过曲线拟合获得显式解，然后扩展到...

结论

本研究系统地研究了弹性约束轴向压缩柱的稳定性分析和设计。主要贡献和发现总结如下：

• (1)
  统一的理论框架：建立了一个通用的稳定性特征方程，能够一致地描述从完全固定端到完全固定端的整个端约束范围下的柱子行为。
• (2)
  高精度显式K系数公式：

数据可用性声明

本研究生成或使用的所有数据和模型均可根据请求向相应作者索取。

CRediT作者贡献声明

张恒明：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，验证，资金获取，数据管理。胡莉：可视化。李子怡：可视化。李峰：项目管理，资金获取。