一种反映人类意图的拓扑优化新方法：引入基于机器学习的模式嵌入滤波器

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：A novel approach for topology optimization mirroring human intention: Introducing a pattern-embedded filter built by machine learning

模式嵌入过滤器与多分辨率优化在SIMP拓扑优化中的应用。通过机器学习将人类设计意图转化为数学模式嵌入过滤器，解决传统过滤器功能单一问题，实现结构性能与风格特征的协同优化，减少额外约束复杂度，多分辨率策略提升计算效率与精度。

　　

张伟生|庄晓雨|郭旭|尹松基

中国大连理工大学国际计算力学研究中心工程力学系，工业设备结构分析国家重点实验室，大连116023

摘要

本文提出了一种基于机器学习的模式嵌入滤波器，用于赋予基于SIMP的拓扑优化方法反映人类意图的能力。该方法将传统的密度滤波器重构为一种能够主动调节模式的新型滤波器，从而有效地将人类设计意图整合到优化过程中。关键在于一种多模态模式匹配度量方法，该方法将明确的模式、抽象的结构风格和直观的设计概念转化为数学表示形式，并直接将这些表示形式嵌入到优化流程中。通过建立模式与密度场之间的自适应映射，该滤波器从传统的数值稳定工具演变为能够主动控制模式的功能组件。由于设计意图直接编码在滤波器中，因此无需额外的复杂约束，从而显著降低了问题的复杂性。数值示例表明，所提出的方法能够灵活生成具有多样化模式的结构，并有效实现设计意图与结构性能的整合。

引言

拓扑优化作为一种强大的设计工具，在工程领域得到了广泛应用。其核心目标是在给定载荷和边界条件下通过寻找最佳材料分布来实现最优性能。由于其强大的设计能力，拓扑优化已在航空航天、汽车轻量化以及生物医学植入物设计等领域得到广泛应用。最近的相关进展可见于[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。

在各种方法中，SIMP（具有惩罚项的各向同性固体材料）方法[[7]]因其明确的物理意义和直观的数值实现方式而被广泛使用[[8], [9], [10]]。然而，如果不使用适当的滤波器，SIMP中的离散材料分布可能会导致棋盘格模式的出现。这种非物理现象表现为相邻元素中密度值的高低交替，严重降低了工程实用性[[11]]。此外，SIMP的结果可能高度依赖于网格尺寸，不同的网格尺寸可能会产生完全不同的结构拓扑[[12]]。为了缓解这种数值不稳定性，人们将滤波技术引入拓扑优化[[13,14]]。通过平滑材料密度或设计域内的敏感性，滤波器有效地减少了由数值问题引起的非物理特征，使结果更加连贯和实用。Sigmund和Petersson早期的工作建立了敏感性滤波器[[12,15]]，该滤波器通过过滤敏感性并使用过滤后的敏感性来更新设计，已在多种问题中证明了其可靠性。Youn和Park首次引入了密度滤波器[[16]]，随后也有其他研究对其进行了扩展[[17,18]]。在这些研究中，通过平均邻域内的密度来重新分配密度，以抑制棋盘格现象。Bourdin引入了一种卷积滤波器[[18]]，旨在平滑密度场，以解决棋盘格效应和网格依赖性问题，从而提高了数值稳定性和工程适用性。这些滤波方案为使用SIMP解决拓扑优化问题提供了有效的正则化方法。

然而，现有的方法大多将滤波器视为一种用于抑制数值不稳定性的“图像处理”工具，缺乏控制模式的功能性能力。随着需求和理解的演变，滤波技术也被用于处理模式属性。例如，Guest等人使用节点设计变量和投影函数来控制拓扑优化中的最小长度尺度[[19]]，并进一步提出了基于滤波器的最大长度尺度约束[[20]]。Kawamoto、Sigmund等人提出了基于偏微分方程的Helmholtz类型滤波器[[21,22]]，他们通过求解一个部分微分方程来隐式定义滤波器，其中的内在长度尺度参数用于调节模式。这种方法还避免了传统滤波器所需的邻域搜索的计算成本。随后，Langelaar开发了一种用于增材制造(AM)的滤波方案，以在拓扑优化中强制满足悬垂角约束[[23]]，通过分层模式控制确保优化设计符合AM工艺要求。Vatanabe等人进一步提出了一种基于统一投影方法的滤波技术[[24]]，该技术可以处理多种制造约束，如最小构件尺寸、最小孔径和对称性。

随着产品设计趋向于个性化和多功能性，拓扑优化的范围已经超越了纯粹的机械指标，包括了模式、结构风格甚至人类直观的设计概念。这不仅要求在基本标准上具有高性能，还需要与设计师互动，并考虑复杂的风格和模式属性（例如，受生物启发的形式或美学要求），以满足快速发展的多维设计需求。例如，基于纹理合成的技术将风格作为外观约束，指导拓扑优化过程中风格化模式的发展[[25], [26], [27]]。利用机器学习，研究人员开发了用于建筑风格化设计的拓扑优化方法[[28], [29], [30]]，他们将结构优化与人类偏好相结合，在不影响结构性能的前提下嵌入艺术元素。除了引入模式或风格外，一些工作还探索了将更抽象的人类设计意图/直觉与自动化拓扑优化相结合，以进一步增强设计能力[[28,[31], [32], [33]]。

尽管如此，许多这些工作强调在优化过程中加入预定的结构特征，但它们没有为人类直觉等挑战性因素提供直观的数学表示。这可能使得风格化行为难以控制，并将控制限制在全局而非局部特征上。这些限制阻碍了实际应用。主要问题有三点：1) 滤波器的功能作用有限；滤波器仍然主要作为数值正则化工具使用，尚未具备主动生成模式结构的能力；2) 滤波器与设计标准之间的冲突；滤波器强调邻域平滑性或特定的数值约束，这可能与生成具有精细模式细节的复杂拓扑的需求相矛盾；3) 问题复杂性较高；设计因素（如风格特征和人类设计意图）通常作为明确的约束引入，与滤波器分离，这种分离增加了问题的复杂性和优化难度。

赋予滤波器直接生成模式的能力是非常有价值的。目标是在保持可控性的同时，将复杂的设计需求隐式地嵌入滤波器中。这样可以扩展滤波器的设计空间和功能范围。因此，滤波器可以从辅助的数值正则化工具演变为拓扑优化的核心组件。这种演变支持更复杂的函数集成，并为嵌入人类意图的优化开辟了新的可能性。为此，本研究提出了一种新的拓扑优化方法，通过机器学习将多种模式信息整合到滤波器中。该方法利用滤波器在优化过程中引导模式元素。这里，模式被广泛地理解为涵盖多样化的人类设计意图和考虑因素，不仅包括常见的风格化模式，还包括功能驱动的生物启发式结构和其他更抽象、任务导向的模式，如手绘草图。与后处理或显式约束不同，所提出的方法将设计意图转化为模式嵌入滤波器的固有属性。滤波器不再仅仅是数值稳定器，而是提升为能够主动引导结构形态演变的函数模块。通过在迭代过程中施加风格指导指令，优化自然地收敛到结合了预定模式和机械性能的结构。这种方法避免了与额外约束相关的高模型复杂性和计算成本，从而确保了高鲁棒性和效率。最终，它实现了广义模式与结构性能的紧密集成。

本文的其余部分安排如下：第2节详细介绍了所提出的模式嵌入滤波器方案，包括模式信息的有效提取和数学表达及其在核心滤波器算法中的整合策略。第3节介绍了支持高效实现的数值技术。第4节报告并讨论了一系列数值案例研究，验证了该方法的有效性，并探讨了在不同模式嵌入条件下的潜力。最后，第5节总结了工作并概述了未来的研究方向。

节选内容

SIMP框架

如图1所示，SIMP方法的基本思想是将离散的材料分布问题转化为连续的密度场优化问题。在SIMP中，设计域被离散为有限数量的元素，每个元素的材料密度被视为一个连续的设计变量。设设计域为$\Omega$，包含$N$个元素。每个元素的密度由${\rho }_e$表示，其中。这些密度值通常

多分辨率优化

为了在降低计算成本的同时保持模式的清晰度，本研究采用了多分辨率优化策略。基本思想是从低分辨率开始，逐步提高分辨率。这种从粗到细的步骤有助于避免不希望出现的局部解，并加速收敛。

如图4所示，使用了三个分辨率级别，分别由$L\in \{0,1,2$表示低、中和高级别。对于级别$L$，离散的设计域大小为$M_L^{\times }$

数值示例

为了验证所提出的方法，本节提供了几个代表性的对比示例。由于基于滤波器的交互不会给求解器带来额外的复杂性，所有示例都是使用最优性准则(OC)方法解决的。除非另有说明，设计域由均质线性弹性材料制成，泊松比$\nu =0.3$，杨氏模量$E_0=1$。采用三级多分辨率策略来提高准确性和效率。

结论

本研究提出了一种拓扑优化方法，该方法通过新颖的滤波策略将模式直接整合到结构设计过程中。与传统方法不同，传统方法将美学作为外部约束，而所提出的方法在初始滤波阶段就融入了预定义的模式。这些模式可以是手动设计的关键元素，也可以是从图像中提取的风格化形状。通过将模式嵌入到基于密度的滤波器中，优化器

伦理批准

本文不包含任何由作者进行的涉及人类参与者或动物的研究。

CRediT作者贡献声明

张伟生：撰写——审稿与编辑，撰写——初稿，监督，方法论，概念化。庄晓雨：撰写——初稿，调查，形式分析，数据管理。郭旭：撰写——审稿与编辑。尹松基：撰写——审稿与编辑。