卡尔曼滤波器类扰动观测器中的偏差-方差权衡：理论、联系与新方法探索

《Automatica》：Bias-variance trade-off in Kalman filter-based disturbance observers

本文聚焦于扰动观测器领域的一个核心困境：在扰动模型信息不完全时，估计性能存在固有的偏差-方差权衡。文章揭示了经典同时输入与状态估计（SISE）与卡尔曼滤波器扰动观测器（KF-DOB）之间的理论联系，证明SISE是KF-DOB在扰动噪声协方差无穷大时的特例。为缓解此权衡，作者创新性地提出了多核相关熵卡尔曼滤波扰动观测器（MKCKF-DOB）与交互多模型卡尔曼滤波扰动观测器（IMMKF-DOB），并通过仿真验证了其优越性。

　　

研究亮点

我们研究了卡尔曼滤波器类扰动观测器（KF-DOB）中固有的偏差-方差权衡，并揭示当应用无穷大扰动协方差时，其与同时输入与状态估计（SISE）方法是等价的。为满足实际应用中对及时且平滑的扰动估计的需求，我们提出了两种新方法：多核相关熵卡尔曼滤波扰动观测器（MKCKF-DOB）和交互多模型卡尔曼滤波扰动观测器（IMMKF-DOB）。

引言

扰动无处不在，存在于信息物理系统、机器人学及生理系统等多个领域。在控制系统中，扰动会降低系统性能，甚至导致失稳。在估计系统中，扰动会降低估计精度，并可能导致滤波器发散。因此，精确估计扰动对广泛应用至关重要。

一种有前景的扰动估计方法是扰动观测器（DOBs）。DOBs大致可分为两类：基于频域的方法和基于时域的方法。基于时域的DOBs比基于频域的方法更为普遍，例如非线性扰动观测器（NDOB）、高阶NDOB、扩张状态观测器（ESO）、未知输入观测器（UIO）、同时输入与状态估计（SISE）、卡尔曼滤波器类扰动观测器（KF-DOB）等。值得注意的是，NDOB、ESO和UIO没有显式考虑测量噪声和过程噪声。然而，在一些应用中，噪声不可忽略。在此场景下，KF-DOB更具优势。

具有未知扰动（或输入）和随机测量的线性系统状态估计自其提出以来吸引了大量研究。最初，Kitanidis (1987) 为任意扰动下的鲁棒状态估计制定了一个无偏最小方差估计器。随后，Gillijns 和 De Moor (2007) 改进了 Kitanidis (1987) 的结果，并构建了SISE估计器，为状态和扰动提供了无偏最小方差估计。值得注意的是，尽管上述估计器因其无偏最小方差特性在理论上很有吸引力，但由于其输出通常包含高不确定性（换言之，输出是噪声的），它们在实际控制工程中很少使用。噪声估计不利于机器人的控制稳定性和能量效率。相反，KF-DOB的结果则平滑得多（尽管可能存在偏差），并受到许多工程师的青睐。

直观上，如果扰动估计结果既无偏又平滑，那将是理想的。然而，在扰动模型不完全和存在随机测量的情况下，同时实现这两个目标本质上是相互冲突的。我们将此效应称为扰动估计的偏差-方差困境。许多研究者经常观察到这一现象。例如，在KF-DOB中，减小扰动噪声协方差Q_d会使输出更平滑，但会牺牲跟踪速度。尽管权衡跟踪速度和估计平滑度是经验上熟知的现象，但在卡尔曼滤波器框架内对此权衡的深入分析以及有效的应对措施仍有待探索，这也正是本工作的动机所在。

偏差-方差权衡在KF-DOB中

我们研究了KF-DOB中扰动跟踪速度与估计方差之间的基本权衡。

对策

在本节中，我们建立了SISE与常规KF-DOB之间的联系。我们证明了当选择无穷大扰动噪声协方差时，这些估计器是等同的。此外，我们证明了KF-DOB不足以应对复杂的扰动场景。为解决此问题，我们提供了两种对策，即MKCKF-DOB和IMMKF-DOB。

仿真

考虑了三个例子：车辆跟踪、1自由度扭转系统和1自由度机械臂示例。相应代码可在线上获取。¹

结论

在本文中，我们系统地研究了KF-DOB中的偏差-方差效应，并揭示了当应用无穷大扰动协方差时，其与SISE估计器是等同的。为满足实际应用中对及时且平滑的扰动估计的需求，我们提出了两种对策：MKCKF-DOB和IMMKF-DOB。所提方法的优越性从“自适应”或“切换”扰动协方差的角度进行了解释，并通过大量仿真得到了验证。