利用李群方法研究包络曲面

《Computer Aided Geometric Design》：Lie group approach to envelope surfaces

基于李群理论的包络面高效计算方法及其应用，通过将一参数曲面系统视为李群齐性空间中的曲线，利用李代数与齐性空间的对称性在线性空间中求解特征曲线，实现包络面的显式有理参数化。研究成果应用于移动圆锥包络面的参数化与修边问题解决，并推广到其他几何模型。

　　

米哈尔·莫尔纳尔（Michal Molnár）|兹比涅克·希尔（Zbyněk ?ír）|雅娜·弗拉布利科娃（Jana Vráblíková）

查尔斯大学，数学与物理学院，Sokolovská 83号，布拉格186 75，捷克共和国

摘要

在本文中，我们提出了一种新的、高效的方法来计算包络曲面。我们将一参数曲面系统解释为适当李群齐次空间中的曲线。利用李群和李代数的形式主义，我们严格捕捉了计算包络过程中所固有的对称性和线性。特别是，构成包络曲面的特征曲线集合可以预先计算为固定规范曲面与其可能的“导数”之间的交集。

为了证明我们方法的有效性，我们展示了几个从不同李群变换而来的曲面示例。作为一个显著的附带结果，我们发现进行有理运动的圆锥的特征曲线及其包络本身也是有理的。此外，我们提供了这些包络的显式有理参数化，并利用它们来解决修剪问题。

引言

本文的主要主题是包络曲面与李群之间的联系。李群及其齐次空间是两个最广泛使用的数学概念，例如（Arvanitogeorgos, 2003; Baker, 2002; Karger and Novák, 1985）提供了易于理解的介绍。它们普遍适用于表达几乎任何科学领域中的对称性。运动学（Karger and Novák, 1985）和数学物理（Sattinger and Weaver, 1986）在很大程度上基于李群理论。在较小程度上，它们也在几何建模中找到了应用，例如（Park and Ravani, 1995; Wallner and Dyn, 2005）。包络曲面因其理论方面和应用而受到广泛研究。实际上，它们是微分几何中的一个标准课题（Struik, 1961）。包络被用作各种用途的辅助构造，例如（Bizzarri et al., 2017; ?ír and Farouki, 2020）。在几何建模中研究了各种特殊的包络曲面，如运河曲面（Landsmann et al., 2001）和可展开曲面（Fernández-Jambrina, 2017）。移动（截断）圆锥的包络因其应用于CNC加工而备受关注（Bo et al., 2017; Skopenkov et al., 2020）。

我们的论文为寻找包络曲面的解析表达式和参数化做出了贡献，例如（Bi et al., 2009; Flaquer et al., 1992; Peternell, 2004）。尽管在这个背景下偶尔会提到李群，但它们的结构并没有被系统地、普遍地利用。在这方面，我们在第3节的结果是原创的。第4节中对运河曲面的应用提供了一个新的、简洁的证明，即它们作为参数有理依赖的一参数球面系统的包络是有理的（Landsmann et al., 2001）。移动圆锥的包络的有理性在Bi et al.（2009）；Jüttler and Wagner（1999）；Peternell（2004）；（2010）；Peternell et al.（2008）；Pottmann and Peternell（2000）中有所陈述和证明。然而，在所有这些情况下，都采用了对偶方法，并没有提供显式公式。在本文中，我们提供了这些包络的显式有理参数化，并利用它们高效地解决了修剪问题。

本文的其余部分组织如下。第2节阐述了所提出的包络计算方法，概述了我们方法的主要思想，并收集了包络曲面、李群及其齐次空间所需的定义和性质。第3节表明，所有固定类型的曲面自然形成了适当李群的齐次空间。然后，这个空间被表示在隐函数向量空间中。一参数曲面族自然地作为齐次空间中的曲线出现。通过利用齐次空间的对称性和其切空间的线性结构，我们显著简化了特征曲面的描述。第4节将这一通用框架应用于几类运河曲面。我们不是提出孤立示例，而是为包括管道和运河曲面、自由变化的椭球体以及最重要的是进行欧几里得运动的圆锥在内的整个曲面类推导出新的结果。在后一种情况下，我们提供了特征曲线和所得包络的有理参数化，并利用这些结果来解决修剪问题。最后，我们总结了本文。

章节摘录

动机和基本概念

本文关注包络曲面与李群之间的相互联系。本节总结了这两个主题。特别是，我们讨论了在$R^3$中隐式描述的一参数曲面系统的包络计算。为了更好地解释所有基本概念，我们提供了一个贯穿全文的示例。关于李群理论，我们首先提供了一个通用定义，然后重点讨论了特殊的欧几里得群$\mathrm{SE}\left(3\right)$、其李代数及其齐次空间。

作为齐次空间中的曲面的曲面系统

在本节中，我们展示了所有可能的变动曲面实例形成了一个可以嵌入到隐式方程线性空间中的齐次空间。这种嵌入是充分利用特征曲线计算中的对称性和线性的关键步骤。

定义8

设$G$是一个作用在$R^3$上的李群，设$H$是其齐次空间，使得$?\stackrel{}{F}\in H$满足$H=\left\{g\right(\stackrel{}{F}):g\in G\}。$设$F_t$是一参数曲面系统。如果$F_t$包含在$H$中，我们说$F_t$

应用于包络参数化

在本节中，我们将之前的理论应用于几个曲面系统。首先，我们关注移动圆锥，提供了包络的显式有理参数化并解决了修剪问题。接下来，我们考虑了由不同李群生成的一参数曲面的其他示例。

结论

我们将李群及其齐次空间的理论与包络曲面的描述联系起来。利用李群和李代数的形式主义，我们精确地表达了计算特征曲线时所固有的对称性和线性。为此，我们在第3节中提出了一些通用定义，并在命题12中阐述了通用结果。

在第4节中，我们将这一理论应用于几个示例。特别是，我们展示了特征曲线

CRediT作者贡献声明

米哈尔·莫尔纳尔（Michal Molnár）：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，形式分析。兹比涅克·希尔（Zbyněk ?ír）：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，形式分析，概念化。雅娜·弗拉布利科娃（Jana Vráblíková）：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。