基于反正切的高斯-雅可比求积法在离散速度玻尔兹曼求解器中的应用

《Computers & Fluids》：Arctangent-based Gauss-Jacobi Quadrature for discrete-velocity Boltzmann Solvers

针对离散速度Boltzmann求解器中速度空间离散精度与效率问题，提出基于反正切函数的Gauss-Jacobi四阶格式，通过极坐标速度映射实现无限域到有限域的转换，并引入可调参数权重函数，有效解决传统Gauss-Hermite和均匀Newton-Cotes方法在超稀薄流动中的离散误差和计算成本问题。数值实验表明该方法在近连续到超稀薄流动（Kn=0.001-0.1）均具有高精度和稳定性，计算效率较传统方法提升50倍，且可扩展至多维速度空间。

　　

董珊珊|王璐|梁宏|王冠清

杭州电子科技大学物理系，中国杭州，310018

摘要

对于离散速度玻尔兹曼求解器而言，速度空间的精确离散化至关重要。然而，传统的求积方案（如经典的高斯-埃尔米特方法和均匀的牛顿-科特斯方法）通常存在固有的不匹配误差，并且灵活性有限，尤其是在高度稀薄流动中。为了解决这些问题，我们提出了一种基于反正切的权重函数的高斯-雅可比求积方法，并结合极坐标速度映射，显著改善了速度空间的离散化效果。该公式能够灵活调整离散速度点，减轻了传统高斯权重与非麦克斯韦分布不匹配所导致的不匹配误差。这种灵活性使得该方法能够准确表示从接近连续状态到高度稀薄条件下的各种流动状态的非平衡速度分布。广泛的数值测试（包括经典盖板驱动的腔体流动、温度不连续引起的腔体流动以及绕方形圆柱体的超音速流动）表明，在准确性和计算效率方面都取得了显著提升。在高度稀薄条件下，该方法相对于传统方案的速度提升可达50倍，同时保持了解的平滑性和物理一致性。分析上的构造和可调参数使得该方法易于扩展到多维速度空间。这些结果为稀薄、过渡态和多尺度气体流动的精确动力学模拟提供了一种稳健、高效且广泛适用的离散化策略，具有在高超音速空气动力学、微尺度气体传输以及其他复杂稀薄流动问题中的潜在应用价值。

引言

在航空航天工程、真空技术和微机电系统（MEMS）等领域，多尺度气体动力学的精确模拟变得越来越重要。为了解决这一挑战，基于离散速度方法（DVM）[1]、[2]、[3]的数值方法已被广泛开发用于求解玻尔兹曼方程。代表性的方案包括气体动力学统一算法（GKUA）[4]、[5]、统一气体动力学方案（UGKS）[6]、[7]和离散统一气体动力学方案（DUGKS）[8]、[9]、[10]，这些方案都能在整个克努森数范围内提供统一的处理。这些方法的一个关键组成部分是速度空间的精确和高效离散化。

基于DVM的求解器的性能在很大程度上依赖于速度空间的精确离散化。现有的求积方法主要分为两类。第一类是在无限域上使用高斯型求积，例如高斯-埃尔米特规则和高斯-拉盖尔规则[11]、[12]。尽管在接近平衡状态下准确，但由于固定节点位置的限制，在高克努森数或高马赫数条件下性能会受到影响。这种限制可能导致固有的不匹配误差，因为固定的高斯权重与实际的非平衡速度分布不一致，从而降低高度稀薄流动中的数值精度。第二类是对速度域进行截断并应用有限区间规则，包括高斯-勒让德求积、高斯-切比雪夫求积和牛顿-科特斯求积[12]、[13]、[14]。虽然这些方法比经典高斯求积方法具有更大的灵活性，但它们对密集网格的需求也导致了较高的计算成本。

为了提高适应性，最近的研究探索了参数化求积方案。王等人[15]基于双曲正切函数构建了一种新型的钟形权重函数，并提出了在无限区间上的高斯-雅可比求积规则。通过引入参数来调整离散速度分布，他们的方法取得了良好的准确性和适应性。然而，这种方法依赖于张量积扩展到多维速度空间，导致计算成本随维度呈指数级增加。最近，引入了极坐标或球坐标下的参数化高斯求积（PGQ）以降低维度并提高效率[16]。尽管如此，PGQ方法受到其固定权重函数的限制，这限制了离散速度分布的灵活性，并降低了其在多尺度流动模拟中的适应性。

这些考虑促使我们开发了具有可调权重和节点分布的参数化求积方案，例如本研究中提出的基于反正切的高斯-雅可比（ATGJ）方法。这一特性特别适用于克努森数或马赫数变化较大的流动，因为在这些情况下，传统求积规则可能无法充分解析分布函数或其局部结构。所提出的框架旨在提高基于DVM的玻尔兹曼求解器的准确性和计算效率，随后的数值实验评估了其在不同稀薄条件下的代表性流动配置上的性能。

数学模型

本研究采用了BGK-Shakhov模型来表述玻尔兹曼方程，该模型在经典BGK模型中引入了热通量修正项，从而能够更准确地表示不同普朗特数条件下的非平衡热传递现象。在二维空间中，无量纲的简化BGK-Shakhov方程表示为[12]、[17]：$\begin{array}{c}\frac{?g}{?t}+\xi ·?g=\Omega \left(g\right)\equiv ?\frac{1}{\tau }(g?g^S),\end{array}$$\begin{array}{c}\frac{?h}{?t}+\xi ·?h=\Omega \left(h\right)\equiv ?\frac{1}{\tau }(h?h^S),\end{array}$