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本文提出快速迭代矩方法（FIM），通过交替求解高阶矩系统和流体力学方程加速近连续气体流动的稳态模拟，结合隐式碰撞处理、对称高斯-赛德尔迭代及非线性多网格策略，显著提升效率，尤其适用于Kn较小的流动。
李光汉|王春武|胡志成
南京航空航天大学数学学院，南京，211106，中国
摘要
我们开发了一种快速迭代矩方法，用于近连续气体流的稳态模拟，这些气体流由基于玻尔兹曼-BGK方程的高阶矩系统来描述。该方法之所以能够快速收敛，主要是因为它交替求解矩系统和具有相同本构关系及边界条件的流体动力学方程，后者在每次迭代中都能有效改进宏观预测，从而加速矩系统的演化。此外，还引入了一种半隐式方案来处理碰撞项。通过采用逐单元扫描策略的高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法，可以进一步加快这种交替迭代的速度。值得注意的是，这种交替迭代与非线性多重网格（nonlinear multigrid）方法结合使用效果良好，从而形成了一个集成的、更高效的多层求解器，该求解器在空间和速度空间中都包含了粗粒度校正。我们对平面库埃特流（planar Couette flow）、激波结构（shock structure）和盖驱动腔流（lid-driven cavity flow）进行了数值实验，以验证所提出的快速迭代矩方法的性能。所有实验结果都显示出了该方法出色的效率和鲁棒性。
引言
气体稀疏程度通常用克努森数（Knudsen number）Kn来衡量，它定义为分子平均自由路径与特征流长度的比值。根据克努森数的大小，气体流动可分为四个区域[1]：连续态（Kn?Kn?Kn?Kn?>?10）。在连续态流动中，经典的流体动力学方程（如纳维-斯托克斯-傅里叶（Navier-Stokes-Fourier，NSF）方程足以描述流动行为；而在其他区域，随着Kn的增加，这些方程的准确性逐渐降低，甚至可能失效。在这种情况下，玻尔兹曼方程作为气体动力学理论的基础，在所有流动状态下都被认为是捕捉稀疏效应的必要模型。然而，由于其高维和非线性的积分-微分结构，求解玻尔兹曼方程极具挑战性。为了平衡准确性和效率，在近连续态流动中，常用的策略是用简单的松弛项（如Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型[2]来替代复杂的碰撞积分。尽管进行了这种简化，但对于稳态问题，模拟仍然可能计算成本高昂。在过去的几十年里，人们投入了大量努力来开发玻尔兹曼-BGK方程的高效数值方法，参见[3]、[4]、[5]、[6]、[7]等文献。
降低计算复杂度的一种有吸引力的方法是应用模型简化技术，以获得能够捕捉经典流体动力学方程无法忽略的稀疏效应的宏观传输模型[8]。Grad的矩方法[9]是这一方向上最著名的技术之一。它通过截断的Hermite函数级数来近似玻尔兹曼方程中的分布函数，从而得到高阶矩系统，通过适当的正则化处理，这些系统可以是全局双曲的[10]、[11]。伴随着这些系统，一个统一的数值框架在[5]、[12]、[13]中得到了引入和完善。该框架使得高阶矩系统的实现变得可行，无需显式写出每个方程，从而便于将这些模型应用于各种流动问题。
在涉及稀薄气体动力学及相关非平衡现象的许多应用中，稳态具有特别重要的意义。传统的时间积分方法通常需要较长的时间演化才能达到稳态，尤其是在近连续态流动区域，随着Kn的减小，其收敛性会显著下降。为了解决这一效率瓶颈，人们越来越关注那些能够绕过瞬态动力学并直接针对稳态解的特定求解器。在各种策略中，多重网格方法[14]、[15]通过粗粒度校正有效消除了误差成分，被证明是有效的。
将非线性多重网格（NMG）方法纳入双曲矩系统的统一数值框架中，我们开发了使用空间粗粒度校正的NMG求解器[16]、[17]，以及使用低阶模型校正的非线性多层矩（NMLM）求解器[18]、[19]，后者也可以视为速度空间中的粗粒度校正。这两种求解器都比基于时间积分的单层求解器取得了显著的效率提升。然而，对于近连续态流动，它们的收敛性随着Kn的减小仍然会明显下降。此外，尽管每种方法单独使用时表现良好，但将这两种类型的粗粒度校正结合起来开发更高效的多层求解器仍然是一个非平凡的任务。过去的尝试经常遇到与算法稳定性和计算开销相关的问题。迄今为止，尚未建立起一个稳健的集成策略。
受到NMLM求解器有效性的启发，本文提出了一种快速迭代矩（FIM）方法，该方法采用了一种新颖且更稳健的方式利用低阶模型校正。为此，我们首先注意到流体动力学方程被包含在阶数为M?≥?2的矩系统中。在近连续态流动区域，它们能够可靠地预测主要的宏观量，即密度、平均速度和温度，而高阶矩的演化则较慢，且通常保持较小。利用这种固有的多尺度结构，我们引入了FIM框架，在该框架中，高阶矩系统和流体动力学方程交替求解，并使用适当的本构关系和边界条件以确保一致性。由于流体动力学方程实际上起到了低阶模型的作用，FIM方法可以被解释为一个重构的两层NMLM方法，特别是在较小的Kn下，提供了显著提高的鲁棒性和效率。这使得即使对于中等阶数的矩系统也能进行高效模拟。此外，目前的FIM方法在概念上也与最近开发的一些通用迭代方案（GSIS）[20]、[21]、统一气体动力学方案（UGKS）[22]以及其他一些微观-宏观加速方法[6]、[23]、[24]、[25]有一定的相似性，尽管其底层公式和实现方式在结构上有所不同。
通过引入几种针对性的加速策略，FIM方法得到了进一步改进。具体来说，引入了对碰撞项的隐式处理，以增强小Kn区域的数值稳定性。同时，对矩系统和流体动力学方程应用了对称的高斯-赛德尔方法，并采用逐单元扫描策略来加速收敛。结合这些有利策略，开发了一系列FIM求解器，表现出了更好的性能。此外，这些求解器可以很容易地集成到空间NMG框架中，以实现进一步的加速。本文的其余部分组织如下：第2节提供了必要的预备知识，包括控制玻尔兹曼-BGK方程及其在矩方法统一框架内的完整离散化；第3节详细介绍了核心的FIM框架；第4节介绍了进一步的针对性策略；第5节通过数值实验检验了所提出求解器的性能；第6节给出了简要结论。
章节摘录
预备知识
本节简要概述了玻尔兹曼-BGK方程及其任意阶的矩系统，随后介绍了统一的空间离散化和基本的时间积分方案，即前向欧拉方法（forward Euler method）。
快速迭代矩方法
在本文中，我们主要关注小Kn区域下高阶矩系统的稳态解，或等效地，玻尔兹曼-BGK方程的稳态解，当t?→?∞时。忽略(12)中的时间导数，我们得到离散的稳态问题对于所有。在这个阶段，前向欧拉方案（18）作为基本迭代，也称为Richardson迭代。然而，一旦矩系统的阶数达到M?≥?2，Kn就会出现在高阶项中
进一步的加速策略
为了进一步提高FIM方法的效率和鲁棒性，本节致力于通过引入几种针对性策略来扩展FIM-1求解器，包括半隐式方案、采用逐单元扫描策略的高斯-赛德尔方法以及非线性多重网格方法。本节最后总结了这些改进后的FIM求解器。
数值实验
我们进行了三项数值实验，即平面库埃特流、激波结构和盖驱动腔流，以展示所提出求解器的性能。除非另有说明，否则采用以下设置：CFL数（CFL number）、收敛容忍度和每次FIM交替迭代中矩求解器的迭代次数分别设置为。对于相关的NMG求解器，采用了一个包含预处理、后处理和
结论
我们开发了一种快速迭代矩（FIM）方法，该方法交替求解高阶矩系统和一致的流体动力学方程，用于稳态玻尔兹曼-BGK方程。利用流体动力学方程高效演化主要宏观量，FIM方法在近连续态流动区域显著加速了收敛过程，且随着Kn的减小，这种加速效果更加明显。为了提高鲁棒性
CRediT作者贡献声明
李光汉：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件开发、方法论、资金获取、数据管理。王春武：撰写——审稿与编辑、监督、方法论、资金获取、形式分析。胡志成：撰写——审稿与编辑、监督、项目管理、方法论、资金获取、形式分析、概念构思。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。
